Итак, если предположить, что звездный каталог составлялся в год t и истинные широта и долгота какой-либо звезды были равны b(t) и l(t) соответственно, то в результате ошибки в определении положения эклиптики, парамеризуемой γ=γ(t) и φ=φ(t) , составитель каталога запишет в каталог координаты b'(t) и l`(t). Сочень большой точностью можно считать, что

b`(t)=b(t)+ γ sin(l(t)+φ).

Последняя формула справедлива при условии, что составитель каталога не делал никакой ошибки измерений. Если ошибка присутствовала, — а она присутствовала неизбежно, — и равнялась λ, то

b`(t)=b(t)+ γ sin(l(t)+φ)+ λ.

Последняя формула справедлива для всех звезд рассматриваемой совокупности, и, следовательно, можно поставить статистическую проблему оценки параметров γ и φ для данной совокупности звезд. Оценки параметров γ и φ можно найти, например, методом наименьших квадратов, когда γ и φ являются решением следующей задачи:

Σ _i(b-b _i(t)-γ sin(l _i(t)+φ) ²→min,

где суммирование производится по всем звездам i из рассматриваемой совокупности, b _i  — широта i -й звезды в каталоге "Альмагеста", b _i(t), l _i(t)  — истинные широта и долгота звезды i в году t .

Решением этой задачи являются параметры φ _stat(t) и γ _stat(t) . А задающие ошибку в определении положения эклиптики при условии, что звездный каталог был составлен в году t , а минимальное значение суммы представляет собой квадрат среднеквадратичной широтной ошибки в рассматриваемой совокупности звезд после компенсации систематической ошибки. Назовем это минимальное значение "остаточной ошибкой", т. е. ошибкой, которая остается в каталоге после компенсации систематической составляющей.

Затем мы рассмотрели следующие семь совокупностей звезд, семь областей звездного неба "Альмагеста". См. рис. 1.14.

ОБЛАСТЬ М — это Млечный Путь.

ОБЛАСТЬ А — большая область справа от Млечного Пути, содержащая точку осеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком.

ОБЛАСТЬ В — это меньшая область слева от Млечного Пути, содержащая точку весеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком.

ОБЛАСТЬ С — это южная часть неба справа от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.

ОБЛАСТЬ D — это южная часть неба слева от Млечного Пути, расположенная за зодиаком.

ОБЛАСТЬ Zod А — это часть зодиака, попавшая в область А.

ОБЛАСТЬ Zod В — это другая часть зодиака, попавшая в область В.

ОБЛАСТЬ А — самая большая из них. Через Zod мы обозначили все звезды зодиака в "Альмагесте". Из рис. 1.6 видно — какие именно созвездия "Альмагеста" попали в эти выделенные нами семь областей звездного неба.

Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций φ _stat(t) и γ _stat(t) . вместе с соответствующими доверительными интервалами. На рис. 1.15 показан вид этих кривых для области Zod А . Также мы нашли среднеквадратичные ошибки до и после компенсации систематических ошибок. Анализ данных показывает, что наиболее хорошо измеренными в "Альмагесте" совокупностями звезд являются области А и Zod А . На каком основании сделан этот вывод?

Во-первых, сравниваются исходная и остаточная ошибки. Если это снижение значительно, — как в области Zod А , где ошибка снижается с уровня 22' до 13', — то есть основания говорить о малой величине случайной ошибки.

Во-вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров φ _stat(t) и γ _stat(t) . Так, для областей Zod А и А ширина доверительного интервала для γ _stat(t) составляет всего около 10', а например, для области D — существенно больше. Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до "остаточного" для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное знание систематической ошибки для данной области, — например для D , — приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога "Альмагеста" составляет 10 минут, это — "заявленная точность" каталога. Другими словами, — точность, на которую претендовал составитель каталога "Альмагеста". Другой вопрос: смог ли он реально достичь этой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки в каталоге, сделанные наблюдателем для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий каталога "Альмагеста". Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог — к группе хорошо измеренных созвездий. Здесь мы говорим о созвездиях зодиака. Эти результаты хорошо согласуются с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд, а именно, по несколько сотен звезд в каждой совокупности.

Далее, хотя величины φ _stat(t) и γ _stat(t) мы определяли с помощью методов математической статистики, это, вообще говоря, не дает оснований считать их систематическими ошибками. Дело в том, что они отвечают лишь "средним" отклонениям координат по всем звездам из рассматриваемой совокупности. Но это не противоречит тому случаю, когда отдельные созвездия имеют разные систематические ошибки, так что в итоге получается найденная нами выше ошибка. Расчеты показали, что отдельные зодиакальные созвездия из области Zod А имеют ОДНУ И ТУ ЖЕ погрешность γ =20'. В то же время они имеют отличающиеся друг от друга погрешности φ .

Такую же погрешность γ =20' имеет и часть А звездного атласа "Альмагеста". Забегая вперед, скажем, что такую же погрешность γ имеет в "Альмагесте" и совокупность именных звезд из части неба А . Мы называем именными звездами те, которые снабжены в "Альмагесте" собственными именами. Все это говорит о том, что ошибка γ ЕДИНА ДЛЯ ВСЕХ СОЗВЕЗДИЙ ИЗ ЧАСТИ НЕБА А .

Совсем иное положение с ошибкой φ . Она варьируется от созвездия к созвездию. Можно дать вполне естественное объяснение этому обнаруженному нами обстоятельству, если предположить, что координаты звезд измерялись с помощью армиллярной сферы. Это — стандартный средневековый и "античный" инструмент. См. рис. 1.16. Схематическое изображение см. на рис. 1.17. При этом угол между плоскостями эклиптики и экватора, включающий ошибку γ , фиксируется в инструменте, а угол φ меняется от одной серии измерений к другой. См. рис. 1.18. Впрочем, это объяснение не используется нами далее.