В [71] предлагается уточнение датировки по Арктуру, а именно, 310 год н. э. плюс-минус 360 лет. Для целей датировки в [71] используется метод наименьших квадратов. Элементарные вычисления, однако, показывают, что точность этого метода оценивается снизу величиной индивидуальной ошибки рассматриваемой быстрой звезды, деленной на скорость ее собственного движения. Эта оценка получается в предположении, что окружение рассматриваемой быстрой звезды измерено абсолютно точно. Учет неточности измерений в совокупности с небольшим числом звезд из окружения (например, авторы [71] выбирают из окружения Арктура 11 звезд) дает существенную прибавку к ширине интервала датировки. Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская без всяких оснований заменяют всюду неизвестную им индивидуальную ошибку на среднюю квадратичную. Кроме того, точность предлагаемого ими "метода" моделирования ошибок также ими не оценивается. А между тем он основан на предположении, что если в результате случайных возмущений координаты звезд из "Альмагеста" станут близкими к истинным координатам. В результате влияния упомянутой индивидуальной ошибки такое попадание в окрестность истинных координат должно иметь малую вероятность и в любом случае должно быть оценено. В работах [71], [72] нет и намека на подобные оценки.

Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская утверждают в [71], будто результаты вычислений по другим быстрым звездам, — почему-то не приведенные в [71], — подтверждают выводы, основанные на анализе O ²Эридана и Арктура. Однако в действительности это не так. Приведем лишь один яркий пример. Среди быстрых звезд, якобы обработанных авторами [71], содержится яркая звезда Процион. Наши исследования показали, что авторы [71] должны были бы, пользуясь своим методом, получить по Проциону датировку примерно X век н. э., которая никак не вяжется с их выводами.

Наконец, "метод" [71] существенно зависит от выбора звезд окружения исследуемой звезды. Мы проверили, как меняется датировка ("методом" работы [71]) по группе Арктура в зависимости от выбора разных звезд окружения. Оказалось, что при этом датировка колеблется от 1-го года н. э. до 1000 года н. э.

Таким образом, работы [71], [72] оказались некомпетентными.

Ю.Н. Ефремов и Е.Д. Павловская ссылаются на публикацию Е.С. Голубцовой и Ю.А. Завенягина [43], в которой также предпринята попытка датировки "Альмагеста" по собственным движениям звезд. Однако анализировать здесь работу [43] нет необходимости ввиду полной математической и астрономической беспомощности "метода", описанного в [43]. Достаточно сказать, что Е.С. Голубцова и Ю.А. Завенягин фактически трактуют случайные ошибки в "Альмагесте" как результат реального собственного движения звезд. Они предлагают считать, что возможная ошибка датировки не превышает 150 лет" [43], с. 75. Эта гипотеза фантастична. Наконец, они ошибочно "датируют" "Альмагест" по Проциону 330 годом н. э.

Как видит читатель, проблема датировки "Альмагеста" достаточно трудна и требует тщательного анализа каталога. Перейдем теперь к нашим результатам.

В нашем исследовании мы сначала классифицируем ошибки, содержащиеся в каталоге, на три типа. Это — выбросы, систематические и случайные ошибки.

Выбросами мы называем грубые ошибки в координатах. Они достаточно легко обнаруживаются, и должны быть исключены из расчетов. Такие ошибки могли возникать, например, при переписывании каталога копиистами.

Систематическими мы называем ошибки, которые могут быть получены единообразно либо для всего каталога, либо для больших его частей. Типичным примером такой ошибки служит неправильное определение наблюдателем положения эклиптики на небесной сфере. Подобные ошибки могут быть обнаружены статистически и затем компенсированы.

Случайными мы называем ошибки, которые принципиально не могут быть скомпенсированы. Например, это случайные ошибки измерений, не имеющие регулярной составляющей.

Излагаемые ниже методы направлены, таким образом, на то, чтобы очистить звездный каталог от выбросов, скомпенсировать систематические ошибки и попытаться датировать каталог в условиях наличия лишь случайных ошибок. Отметим, что мы классифицируем лишь сами погрешности, но не их причины, которые здесь для нас безразличны.

Каждая звезда в каталоге характеризуется эклиптикальной широтой и долготой. В ряде исследований "Альмагеста" достоверность значений ДОЛГОТ была поставлена под серьезное сомнение. См., например, книгу Р. Ньютона [156]. Кроме того известно, что измерение долгот — дело существенно более сложное, чем измерение ШИРОТ. Для аккуратного определения долгот помимо прочего нужны хорошие часы. Поэтому есть серьезные основания считать долготы "Альмагеста" измеренными менее точно, чем широты. Проведенные нами расчеты подтвердили: точность долгот в "Альмагесте" существенно хуже точности широт, что делает долготы бесполезными для датировки [430], с. 176–178. Наконец, поскольку долготы прецессируют со временем, то недобросовестный составитель каталога или его переписчик мог чрезвычайно легко "удревнить долготы" или, напротив, "омолодить" их, попросту добавляя к ним подходящую величину. При желании он мог, например, "поместить долготы" каталога на II век н. э.

Поэтому в своем методе мы анализировали лишь ШИРОТЫ звезд "Альмагеста". Заранее было неясно — достаточно ли широт для датировки. Оказалось, что ответ положительный. Мы утверждаем, что "Альмагест" можно датировать, используя лишь сведения о ШИРОТНЫХ невязках.

Затем, работоспособность нашего метода была подтверждена анализом звездных каталогов Т. Браге, Улугбека, Гевелия и ряда, искусственно созданных нами каталогов, для чего использовался компьютер. Во всех случаях полученные нашим методом датировки каталогов совпали с заранее известными.

Предварительная работа по выявлению выбросов в "Альмагесте" во многом была уже проделана в более ранних исследованиях. См., например, [328]. Мы считали выбросами те звезды, у которых значение широтных невязок превосходило 1 градус. Кроме явных выбросов каталог содержит звезды, отождествление которых со звездами современного неба сомнительно. В упомянутой работе К. Петерса и Е. Кнобеля [328] такие случаи также отмечены. Один пример уже был приведен выше: это — звезда O ²Эридана. Поэтому для исключения всех таких сомнительных случаев необходимо было очистить каталог "Альмагеста" от неоднозначно отождествляемых звезд. Мы проверили список из более чем 80 быстрых звезд из современного каталога [281]. Из них в "Альмагесте", как выяснилось, отражено около 35 звезд. Затем мы выявили среди них звезды, имеющие неоднозначное, сомнительное отождествление. Таких звезд оказалось немного — всего три. Они были исключены из рассмотрения. Таким образом, наш анализ в основном подтвердил правильность отождествления подавляющего большинства звезд "Альмагеста", приведенного в труде [328].

Перейдем к анализу систематических ошибок. Если рассмотреть какую-нибудь совокупность звезд, то систематическая ошибка в положении этих звезд на небесной сфере может состоять только лишь в перемещении совокупности звезд как единого целого по небесной сфере. Такое перемещение имеет три степени свободы и, следовательно, может быть описано тремя параметрами. Однако поскольку мы интересуемся лишь широтными невязками, то достаточно рассмотреть только двухпараметрические вращения сферы. С вычислительной точки зрения удобно задать это вращение с помощью параметров φ и γ , где параметр φ задает ось, вокруг которой вращается сфера, а параметр γ задает угол поворота. См. рис. 1.13. А именно, мы выбираем в качестве φ угол между осью весеннего равноденствия, рассчитанной на какой-либо год t , и осью поворота, лежащей в плоскости эклиптики, также относящейся к году t .