Сколько поражен был академик Марков в Петербурге, можно судить по тому, что он безотлагательно принялся дорабатывать метод моментов, желая сделать его пригодным для доказательства теоремы Ляпунова. Не упрямствовал Андрей Андреевич, а поставил себе целью реабилитировать метод своего учителя, в виду всех математиков утвердить непреходящую его действенность и потенцию. Ему это удалось… после восьми лет упорнейшего труда.

По всему видать, не простая то была теорема, когда столько внимания уделено ей виднейшими математиками, столько усилий и изобретательности истрачено на доказательство саморазличнейших ее вариантов, все более общих. В самом деле: Ляпунов поставил точку в разрешении главной теоретико-вероятностной проблемы того времени, дал непреложное обоснование важнейшей закономерности случайных явлений.

Только для несведущего человека случайность не отличается от совершенного произвола и полнейшей непредсказуемости. На самом деле случайные явления подчиняются своим особым закономерностям, которые изучают в теории вероятностей. Когда в первой половине XIX века исследовали ошибки прицельной артиллерийской стрельбы, то оказалось, что каждому отклонению снаряда от цели соответствует своя вероятность, тем меньшая, чем дальше от цели отклонится снаряд. Выраженная математически закономерность эта получила название «нормального закона распределения вероятностей». Незадолго перед тем ее обнаружил математик Гаусс, изучавший ошибки измерений.

С той поры нормальное распределение стало попадаться ученым повсюду. Измерили рост большого числа людей одного пола, национальности и возраста и убедились, что случайные различия в росте описываются нормальным законом. Потом нашли, что отличия в размерах одного и того же органа у животных опять-таки подлежат тому же нормальному распределению. Похоже на то, как будто нормальному закону распределения следуют случайные явления в подавляющем большинстве. Уж не представляет ли он главную закономерность вероятностного мира? На этот вопрос отвечала теорема, впервые сформулированная Чебышевым и доказанная во всей полноте Ляпуновым.

Чаще всего случайность явления обусловлена не одной, а сразу множеством независимых причин. Причем каждая из них в отдельности сказывается на нем незначительно. Только все вместе определяют они характер явления. Так, случайное отклонение снаряда от цели вызвано переменчивостью силы и направления ветра, некоторым несовпадением количества порохового заряда с нормой, отличием веса каждого отдельного снаряда от стандартного, погрешностью наводки орудия, нагревом его ствола и многими другими факторами. В совокупности приводят они к непредсказуемому разбросу снарядов около мишени.

Теорема, произведенная трудами Чебышева, Маркова и Ляпунова, утверждала, что при сложении большого числа случайных величин вероятностная закономерность, которая должна обнаружиться для их суммы, с увеличением количества слагаемых неограниченно приближается к нормальной. В крайнем пределе, при бесконечной численности слагаемых, вероятностный закон будет в точности нормальным. Потому и назвали теорему предельной. Можно понять ее великое значение: ведь она позволяла выйти из области догадок и предположений и сквозь игру случайностей добиваться до законов вероятностей, давала возможность предузнать характер большинства изучаемых случайных явлений, Накануне нового века в руки математиков попало мощное средство исследования задач теория вероятностей.

Девятисотый год был уже в исходе. Самый колец его принес Александру и ободряющее признание ученых заслуг, и нежданную мучительную тревогу. В декабрьском Общем собрании Академии избрали его членом-корреспондентом по разряду математических наук. Не было никакого сомнения в том, что за него поусердствовал академик Марков, находившийся под сильным впечатлением от последних работ Ляпунова. Нередко в разговорах с коллегами восхищенно поминал Андрей Андреевич превосходное доказательство харьковским математиком предельной теоремы, шутливо называя это «большой пакостью» для себя. Но весть об избрании застала Александра в самый разгар жестокой болезни жены. Доктора нашли у нее тяжелое воспаление легких.

Борис сообщал в письме к Сергею: «Это какая-то бесконечная, ноющая и истомляющая болезнь. Еще хорошо, если бы была уверенность, что болезнь хотя медленно, но безвозвратно идет к лучшему а то и это находится под сомнением». Опасались, что при общей слабости организма Натальи Рафаиловны долгий и тяжкий недуг полностью ее истощит. Из-за неудовлетворительной работы желудка она не в состоянии была переносить ни масло, ни сметану, ни молоко — все, чему доктора придавали особое значение в ее питании. Даже в канун Нового года врач не позволил Наталье Рафаиловне хоть немного побыть за праздничным столом, находя ее состояние слишком неблагополучным. Так продолжалось еще около двух недель..

Наконец в середине января доктор, осмотрев больную, вопреки обыкновению оживился и повеселел. До той поры он только хмурился и озабоченно покачивал головой, как бы недоумевая, что происходит. Теперь же стал поздравлять всех с очевидным поправлением в здоровье Наташи, настоятельно убеждал обрадованных родственников в неизбежности обнадеживающей перемены.

— Слава богу, уеду со спокойной душою, — проговорил Борис, довольный новым оборотом дела.

— Собрались в дорогу? — спросил доктор. — И далеко ли, позвольте полюбопытствовать?

— Борис уезжает от нас в Одессу, — ответил Александр за брата. — Получил назначение в Новороссийский университет.

— Так что ж, поздравим новоиспеченного профессора, — предложил доктор, бывший в курсе их семейных обстоятельств.

— Увы, — произнес Борис со вздохом, — министр не удовлетворил ходатайство университета за меня. Вернее, удовлетворил лишь вполовину: разрешил мне чтение лекций в качестве приват-доцента с вознаграждением 2000 рублей в год, что составляет жалованье экстраординарного профессора.

— Я считаю, что Борис попал под более выгодные условия, нежели сами профессора, — подхватил Александр, разом повеселевший. — При том же содержании он избавлен от обязанности присутствовать на заседаниях Совета.

— Тогда воздадим должное ловкости министра, который нашелся удачно разрешить проблему магистра Ляпунова, — настаивал доктор.

Все рассмеялись.

А через несколько дней Александр провожал брата на юг. Стояли они около поезда, почти не разговаривая, и Александр глядел несколько стесненным и тревожно рассеянным. Когда Борис поинтересовался причиной его беспокойства, он смущенно высказал опасение, что Наташа может чересчур утомиться, поджидая его возвращения домой.

Уже за полночь, когда в квартире Ляпуновых все спали, у входной двери послышались шум и возня, потом раздался стук. Встревоженный и недовольно ворчащий впросонках Рафаил Михайлович пошел открывать. Александр тоже поднялся. «Вам телеграмма, ваше высокородие», — донесся из-за двери сонный голос швейцара. «Уж не случилось ли чего?» — недоуменно буркнул Рафаил Михайлович, принимая небольшой листок бумаги. Но Александр сейчас угадал причину ночного смятения: видать, из Петербурга весть достигла до самой Одессы.

Так оно и было. Борис спешил поздравить старшего брата с многознаменательным событием. В тот день пришло к нему в Одессу письмо от академика Шахматова, который сообщил наряду со всем прочим: «Сегодня мы избрали вашего брата академиком». На радостях Борис тут же отправил в Харьков срочную телеграмму, переполошившую всю семью Александра. Что было делать? Постояли в столовой, посмеялись и вновь полегли спать.

А через несколько времени Александр вырезал из газеты и аккуратно вклеил в записную книжку объявление следующего содержания: «Утверждается ординарный профессор Императорского Харьковского университета, доктор прикладной математики Ляпунов — ординарным академиком Императорской Академии Наук по прикладной математике, с 6-го октября 1901 г., с оставлением его, до 1-го апреля 1902 г., в занимаемой должности».