Снова занимался Александр «обыкновенными случаями», как в первой главе. Только теперь рассматривал их не в общем виде, а для установившегося движения, которому посвящена вся вторая глава. Вот тут и пригодились найденные им функции. Разработанный прежде метод, основанный на решении уравнений движения с помощью бесконечных рядов, и раньше не всегда справлялся с возникавшими вопросами, ныне же вовсе показался ему неудобным для исследования. Но чем было заменить его?

Ляпунов улыбнулся, вспомнив, как задорно оспаривали его результаты в мартовском заседании Математического общества. Выступил он тогда с докладом «Общая задача теории устойчивости движения» и объявил без обиняков, что воспользуется для доказательства теорем об устойчивости и неустойчивости новым своим методом. Вот-то удивил всех коллег-математиков! В Обществе успело утвердиться мнение, что Ляпунов поставил себе целью разработать точный метод решения уравнений движения, позволяющий выводить самые строгие суждения об устойчивости. А докладчик заявил вдруг, что то был всего лишь первый его метод. Первый! А что же, извините, представляет собой второй? В ответ докладчик завел обстоятельную речь о «двух категориях способов исследования устойчивости».

Только теперь члены Математического общества осознали, что Ляпунову никак не свойственна мнившаяся в нем односторонность стремления. Давно уже усматривал он противоположение своему первому методу в критериях устойчивости, предложенных Лагранжем и Раусом. Достоинства их слишком очевидны: они позволяют расправляться с задачами устойчивости, вовсе не решая уравнений — ни точно, ни приближенно. Отпадает великая масса математических сложностей, которые одолевали Ляпунова в работе с первым его методом и которые ставили в тупик многих других исследователей. Устойчиво или неустойчиво движение — о том можно судить по некоторым специально подобранным математическим величинам, неизменным во все время движения изучаемого объекта. Математики именуют их «интегралами уравнений движения». Самый простой смысл у «интеграла», который употреблял Лагранж. Это — полная энергия движущегося тела. Если она постоянна, то есть выполняется закон сохранения энергии, то справедлива теорема Лагранжа и положение равновесия устойчиво, когда потенциальная энергия в нем принимает наименьшее значение.

Казалось бы, не найти проще и удобнее метода изучения устойчивости, но чересчур уж ограничена область применения критерия Лагранжа. Много, слишком много реальных объектов не подпадают под действие теоремы. Потому и предпринял Раус попытку найти другие «интегралы», которые служили бы критериями устойчивости ничуть не хуже энергии. Так, почти столетие спустя после Лагранжа, появились в теории устойчивости «интегралы Рауса». Физический смысл их не столь прост и нагляден, как у «интеграла Лагранжа», но что за дело до этого математикам и механикам! Лишь бы можно было с их помощью выявлять устойчивые движения.

Только не зря Раус обратился в своем трактате к «устойчивости первого приближения» и отвел ей гораздо больше места, чем найденным им «интегралам». Ибо «интегралы» его тоже годятся для ограниченного круга задач и никак не могут конкурировать с общеупотребительным методом первого приближения. Именно Раус и стал самым популярным автором этого приблизительного метода исследования. Указав своим критерием направление, в котором надобно двигаться в поисках удобного способа изучения устойчивости, дающего точный результат на самом высоком уровне математической строгости, Раус бессильно остановился на половине дороги. Обобщив подход Лагранжа, не создал тем не менее подлинно универсального критерия.

Кое-кто из наиболее искушенных слушателей Ляпунова сразу угадал, куда направлены его усилия. Интересная получилась дискуссия после доклада.

— Что ж, мысль Александра Михайловича проявляется вполне, — говорил один из членов Математического общества. — Как Рауса не устраивала ограниченность критерия Лагранжа, так Ляпунова не устраивает ныне узость критерия Рауса. И почему бы, в самом деле, не подняться на более высокую ступень обобщения, не создать более общий критерий устойчивости? Раус обобщил как мог критерий Лагранжа, наш уважаемый коллега идет дальше.

— Согласен, что мысль крайне счастливая, — возражал ему другой математик. — Но где он, этот общеупотребительный критерий Ляпунова? Покажите мне его! Создать критерий устойчивости, значит, найти соответственное ему математическое выражение, значит, уметь его образовывать для нужд конкретного исследования.

Замечание было резонным. В самом деле, Ляпунов показал, что критерием устойчивости и неустойчивости может служить некая функция, вовсе не являющаяся таким редким математическим образованием, как «интеграл уравнения». Не обязана она сохранять одно и то же значение, когда изучаемый предмет движется, лишь бы обладала нужными свойствами, достаточно простыми. Но была в действиях докладчика очевидная незавершенность: не выразил он свои функции конкретно, не изобразил формулой. Исходил только из уверенности, что таковая функция существует, пусть и не найденная явно, не выписанная карандашом на бумаге или мелом на доске. Доказанные им теоремы так и формулировались: «…Если можно найти функцию V, которая (далее перечислялись все отличительные свойства функции), то движение устойчиво», или же напротив — «…то движение неустойчиво». Вот эта-то неопределенность, невыявленность функций и породила смущение в умах, возбудила у иных слушателей недоумение, а то и недоверие.

— Я не умею назвать никакого общего рецепта, никакого всеобъемлющего правила построения таких функций, — откровенно признавался Ляпунов. — В каждом отдельном случае необходимо подбирать их самому исследователю, что составляет безусловный недостаток метода. К слову, никакими особыми, редкими качествами упомянутые функции не должны обладать, как вы убедились. Так что принципиальных затруднений с их существованием быть не может, трудности лишь сугубо технического порядка. В приведенных доказательствах теорем явный вид функций мне не потребовался. Теперь же предъявлю конкретные их примеры для некоторых случаев движения…

Докладчик представил слушателям отдельные образцы V-функций и доказал, как они работают в задачах устойчивости. Воочию убедились харьковские математики в широком размахе его замысла, ибо впервые раскрыл он перед ними целиком план своей докторской диссертации, который уже вызрел вполне. Дело лишь за техническими подробностями воплощения. Ими и занимался Александр в теплостанском своем бытии, отрешившись от вседневных сторон жизни.

— Что, нарочный еще не возвернулся? — обратился Ляпунов к Рафаилу Михайловичу.

— Покуда нет, но ждем с часу на час.

— Кого ж отправили?

— Елисея Александрова. Малый бедовый, должен живо обернуться.

— Это куда же вы его услали? — поинтересовалась Варвара Михайловна.

— К Стеклову Владимиру Андреевичу с письмом, — отвечал Рафаил Михайлович. — Пригласил он к себе Александра с Наташей, так для дознания ближайшего пути к ним отрядили своего человека верхом.

— Лучше бы он к нам приехал, — со вздохом произнесла Анна Михайловна. — Не часто в нашем краю встретишь свежего университетского человека. К тому же Саша столько рассказывал про него, как он поет превосходно, какой рассказчик. Любопытно бы познакомиться.

— У него жена в ожидании родин, — пояснил Рафаил Михайлович. — Не в пору пускаться им лишний раз в дорогу.

— И далеко они живут?

— Верстах в сорока пяти от нас, близ границы Ардатовского и Сергачевского уездов, — вошел в пояснения Александр.

— В области коренной мордвы, — заключил Андрей Михайлович густым басом.

Прошлого года обвенчался Владимир Андреевич с Ольгой Николаевной Дракиной, сестрой бывшего своего сокурсника, и нынешнее лето поселились молодые супруги в хуторе, расположенном в том поволжском краю. Ляпунов уже бывал в их маленькой харьковской квартирке. Жена Стеклова, миловидная тридцатилетняя женщина, преподавала музыку в Женском епархиальном училище и всячески поддерживала научные устремления мужа. Владимир уже сдал магистерский экзамен, потому в январе утвердили его в звании приват-доцента. Александр поручил ему читать курс теории упругости. Взаимное довольство их друг другом незаметно переросло в дружескую короткость. Привыкнув часто видеться в университете, порой поскучивали они летние месяцы в отдалении друг от друга. Потому Ляпунов с нетерпением ожидал скорого свидания со Стекловым. Наконец-то будет с кем обсудить последние свои свершения. И в работе необходимо сделать некоторый перерыв, дабы перевести дух и обновиться силами.