Все эти указываемые нами моменты структуры группы являются беглыми и примитивными, играющими роль скорее образцов для диалектического ее исследования. Большая подробность невозможна в нашем сочинении, а потому нам надлежит обратиться к одной области, где выразительная природа группы явлена с наибольшей силой.

1. Уже давно было замечено, что художественные формы часто подчиняются удивительно закономерным правилам, достигающим прямо геометрической и вообще математической точности. Изучение мировой орнаментики в особенности дает в этом отношении интересный материал, который, между прочим, часто поддается расшифрованию только при помощи теории групп. Групповая структура, оказывается, бессознательно выполнялась еще древними художниками в симметриях орнамента, равно как они в точнейшем виде выполняются и в природе, напр. в формах кристаллов. Коснемся некоторых явлений в этих областях, чтобы наглядно убедиться в выразительной природе числовой группы вообще  [918].

a) Под плоской точечной решеткой понимается результат [отображения] двух векторов: pi и р ₂(не на одной прямой), откладывающих χ ι и х ₂раз (х ₁х ₂=0, ±1, ±2, …) одно и то же единичное расстояние χ _ιρ _ι+χ ₂ρ ₂. Точечная решетка есть точки с целочисленными координатами в той или иной прямолинейной системе координат. Или, наоборот, для всякой решетки точек можно конструировать такую систему координат, для которой р ₁и р ₂являются единичными векторами обеих осей. Конгруэнтное отображение точечной решетки на саму себя называется ее симметрией. Ее можно установить или при помощи вращения всей плоскости вокруг той или иной точки, или при помощи зеркального отображения относительно данной оси симметрии. Все эти движения точечной решетки образуют группу. Спрашивается: какова же структура этой группы?

b) Остановимся на группе вращений. С самого начала ясно, что всякая точечная решетка допускает относительно любой своей точки вращение на 180° в условиях совпадения всей решетки с самой собою, так как всякая прямая в результате такого вращения совпадает сама с собою. Но отсюда следует, что группы вращения могут быть в нашем случае только четного порядка. Так, возьмем группу 4–го порядка, т. е. будем вращать нашу решетку вокруг некоторой точки 0 на углы по 90°. Мы убеждаемся, что если при вращении на 180° любая решетка совпадает с самой собой, то при вращении на 90° совпадает с самой собой только квадратная решетка. Легко заметить также, что существует одна решетка, совпадающая сама [с] собою при вращении на 60°, т. е. при вращении 6–го порядка. Это та, которая состоит из ряда равносторонних треугольников, или гексагональная. Меньше чем на 60° не допускает вращения ни одна решетка, совпадающая с собою, потому что стороны образующегося при соединении ближайших от центра точек многоугольника оказались бы меньше единичного расстояния в решетке и, след., вся точечная система нарушается.

Итак, группа вращений решетки, совпадающей с самой собой, может быть 2, 4 и 6–го порядков, и только этих порядков, причем в первом случае решетка может быть любой формы, т. е. прямоугольной и параллелограммной, во втором—она обязательно квадратная и в третьем—обязательно гексагональная.

c) Посмотрим, каковы возможные здесь зеркальные отражения. Прямоугольная, и в частности квадратная, решетка зеркально отображается относительно любых прямых решетки, а также относительно прямых, им параллельных и проходящих через центры прямоугольников. Что же касается непрямоугольных решеток, то единственной допускающей отображение на саму себя является ромбовидная решетка, которая может быть получена из прямоугольной путем прибавления к ней в качестве точек решетки центров прямоугольников, так как в данном случае стороны прежнего прямоугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями полученных ромбов. Таким образом, группа ромбовидных зеркальных отображений тождественна с группой прямоугольных.

Итак, мы имеем три группы вращений и одну группу зеркальных, отображений. Ни при каких других условиях вращения и отображения плоская решетка не совпадает сама с собой.

d) И вращения, и отображения могут еще соединяться с переносом. Посмотрим, как это возможно. Что касается вращений, то всякое вращение с переносом можно заменить просто другим вращением. Вращение вокруг точки на 180°, соединенное с переносом 0 в 0', тождественно с таким же вращением около середины отрезка 00'. Поэтому плоскую решетку можно вращать на 180° не только около ее общих точек, но и около точек посредине между любыми двумя точками. Из этих новых центров вращения вместе с точками данной решетки получится другая решетка, подобная первоначальной и половинного в сравнении с нею измерения. Квадратная решетка допускает, кроме того, вращение на 90° вокруг средних точек квадратов. Эти новые центры вращения образуют свою квадратную решётку, повернутую в отношении старой на 45° и в отношении к ней половинную по площади. Что же касается вращения на 60°, то тут центрами вращения могут быть только точки самой решетки, потому что средние точки равносторонних треугольников в качестве центров вращения дали бы вращение уже 3–го порядка.

Таким образом, только вращения 2–го и 4–го порядков могут дать в соединении с переносом центры вращения, отличные от точек решетки. Вращение же 6–го порядка допускает перенос центра только с одной обыкновенной точки на другую.

Что же теперь делается с осями отражения, когда к последнему присоединяется перенос? Всякий такой перенос может быть разложен на перпендикулярный к оси отражения и на параллельный к ней. Если направление переноса перпендикулярно к оси отражения, то результат будет снова отражением, но только относительно оси, проходящей через середину самого переноса. Если же перенос параллелен к оси отражения, то мы получаем скользящее отражение. В случае объединения отражения с переносом мы должны различать прямоугольную и ромбовидную решетки. В первой возможны только обычные оси (или оси скользящего отражения) с той или иной кратностью элементарному расстоянию решетки компонентов переноса по сторонам прямоугольников или через середины сторон параллельно другим сторонам. Во второй решетке кроме обычных осей отражения по параллельным прямым самой решетки возможна посредине каждых двух параллельных еще ось скользящего отражения.

e) Приведем в качестве примера на группу вращений и зеркальных отражений плоской решетки мозаику храма Изиды в Помпее (рис. 12). Чтобы разобраться в структуре этой мозаики, отбросим то, что не соответствует здесь основной симметрии. Тут мы находим в шестиугольниках круги с фигурой в пять лучей. Очевидно, единой группы вращения здесь не может получиться. Равным образом скрещенные овалы предполагают вращение на 90°; места же, на которых они находятся, вращаются только на 180°. Наконец, вверху и внизу мы находим шесть полумесяцев, которые тоже трудно объединить с общей системой вращений, Остается, стало быть, только шестиугольная рещетка, она же и ромбовидная, которую легче обозреть на такой схеме (считая, что круги с пятилучевой фигурой находятся в точках решетки).

Перед нами тут гексагональная решетка. Другими словами, перед нами тут группа вращений 6–го порядка плоской решетки. Здесь легко увидеть все, что говорилось выше о ромбовидной решетке. Тут невозможны вращения на 90°, если мы хотим, чтобы решетка совпадала с самой собой. Невозможно тут и присоединение переноса, которое бы <…> [919]центры вращения в не принадлежащие решетке точки. Зато если иметь в виду ось зеркального отражения, то она допускает не только перенос по сторонам ромбов, но и по скользящей оси посредине между двумя сторонами с половинным размером по сравнению с единичным расстоянием решетки. На рисунке чистые оси отражения проходят через центры пятилучевой фигуры, оси же скользящего отражения— через центры сплетенных овалов.