2. История орнаментики дает массу прекрасных примеров на разнообразные группы. Тут мы находим группу зеркальных отражений, группу скользящих зеркальных отражений, группу переносов, группы вращений на 60°, 90°, 120°/и 180°. G. Polya [920]перечисляет 17 разных групп, приводя соответствующую таблицу. Пользуясь этими указаниями, а также указаниями упомянутого A. Speiser'a, приведем несколько примеров из египетской орнаментики  [921].

Рис. 14 дает нам прямоугольную решетку. Основная фигура повторяется тут в зеркальных отражениях. Оси симметрии совпадают с осями отражения, отстоящими одна от другой на половину решеточного расстояния. Схемой этой группы служит рис. 15.

Рис. 16 дает ромбовидную решетку типа схемы рис. 17. Основная фигура орнамента обладает средней точкой, через которую проходят две оси отражения. Решетка переносов лучше всего видна на розетках. Через лилии проходят горизонтально простые и скользящие оси. Вертикальные оси также смешанные. Скользящие оси—между лилиями.

Орнамент рис. 18 построен по схеме 19. Здесь основная фигура возникает из фигуры с центром через отражение относительно оси, не проходящей через этот центр. Оси симметрии, параллельные к ней, суть только простые оси отражения, перпендикулярные же—только скользящие оси. В орнаменте можно отбросить основные завитки: получится фигура с той же группой симметрии, типа рис. 20, но с вертикальным переносом. Наоборот, если оставить одни завитки, то группа продолжает быть точно указанного типа (рис. 19), который можно получить из рис. 21 с продолжением отражения.

На рис. 22 мы находим группу вращений на 90° без всяких отражений. Это квадратная решетка с основной фигурой, допускающей только указанное вращение, и ничего более. Ее схема—рис. 23.

Менее интересен орнамент рис. 24 с основной фигурой, обладающей вращением на 90° и четырьмя осями отражения, которые проходят через ее центр, наподобие креста с равными концами. Здесь, так сказать, слишком «буквальные» отражения. Гораздо сложнее зато орнамент на рис. 25. Тут основная фигура возникает из фигуры с вращением в 90° через отражение относительно оси, не проходящей через центр. Оси симметрии, параллельные к сторонам квадратов, являются осями отражения, но только они не проходят через неподвижные точки вращений, проходя посредине между ними. Обе совокупности других осей состоят только из осей скользящего отражения. Решетка переносов здесь тоже квадратная, хотя ее и не сразу видно (нужно повернуть рисунок на 45 ^°, и тогда станет заметным квадрат со сторонами, проходящими через четыре средние точки). В орнаментах это обычно. В заключение прибавим еще два примера из восточного искусства, Один  [922], рис. 26, — это группа вращений в 60° с 6 складными <…>. [923]

осями. Основной фигурой является здесь нечто вроде бантика трилистника, который, однако, не сразу выделяется. Этот замечательный образец относится к XIV в. (мечеть в Каире). Другой такой же замечательный образец восточной орнаментики  [924]—рис. 27. Основную фигуру и тут не сразу рассмотришь—простой крест с 16–кратной симметрией. Тут мы находим группу вращений в 90°, потом четыре вида осей отражения, потом еще восемь дальнейших симметрий, соединенных с отражениями, т. е. скользящие отражения в плоскости, которые перемещают один на место другого оба ряда лежачих крестов. Что же касается вращений, то тут мы находим вращательные отражения вокруг центров розеток с углами в ±90°; горизонтальные и вертикальные винтовые оси между розетками; две группы простых витых осей, повернутых на 45° по сравнению с предыдущими и проходящих через центр розеток; и вращательные отражения на 180° (пространственный центр симметрии) вокруг средних точек концов крестов.

3. Наконец, богатейший и интереснейший материал для теории групп дает кристаллография, где замечательный русский кристаллограф Федоров определил и вывел групповое строение кристаллов. В настоящее время можно говорить вообще о кристаллическом пространстве, в котором играют основную роль отражения и движения, лежащие в основе симметрии, аналогично с рассмотренными выше плоскими решетками. Группы, определяющие собою кристаллическое пространство, формулируются чисто теоретически, и само кристаллическое пространство получает вполне априорную структуру. Так выводится 32 кристаллических класса, таблицу которых можно найти в нижеуказываемом руководстве. Мы, однако, не станем приводить этот материал, потому что принципы групповой структуры достаточно иллюстрируются фактами плоской решетки. [925]

Выше, в § 123, п. Зb, были указаны все основные формы выразительного числа. Из них мы коснулись только группы. Остановимся вкратце и на прочих формах.

1. а) Когда разность каждых двух элементов совокупности принадлежит к самой совокупности, последняя носит название модуля. В § 124, п. 2а, для модуля был приведен простейший числовой пример. Без дальнейшего видно, что модуль есть элементарный вид ряда рядов и что поэтому является выразительной формой (как это вытекает из § 123). Также отчетливо видно, что здесь налицо вся наша пятиступенная диалектика. Перво–принципом модуля в узком смысле слова является, очевидно, композиционный принцип вычитания: это совокупность таких элементов, разность каждых двух из которых относится к самой совокупности. Принцип модуля (т. е. принцип его структуры) есть совокупность всех разностей, которые в нем возможны, потому что принцип есть первообразная структура перво–принципа, а эта совокупность и дает нам последовательный ряд всех возможных взаимоотношений, определяющих структуру модуля. Этот последовательный ряд тоже называется модулем. Здесь, следовательно, имеются в виду наименьшая разность двух элементов и все ее кратные. Говорится: два числа а и Ъ— сравнимы по модулю т, если разница (а—b) есть число модуля. Но если этот фундаментальный ряд разностей есть принцип, или бытие, модуля, то каждый реальный ряд чисел, входящий в модуль, есть уже становление модуля, так как каждый такой реальный ряд чисел есть постепенное и последовательное осуществление этих разностей.

b) Становлению должен быть поставлен предел. В модуле это делается путем т. н. полной системы вычетов. Чтобы усвоить диалектическое значение вычетов, обратим внимание на то, что математики в применении к модулю говорят не о ряде рядов, но о ряде классов, пbнимая под классом совокупность чисел, равноостаточных при делении на число модуля. Тогда, имея какое–нибудь число а, мы можем сказать, что всякое другое число того же класса есть вычет числа а по модулю т. Кроме того, как ясно видно из примера, приведенного в § 124, п. 2а, для каждого модуля т имеется и т разных классов. А так как судить о классе можно по любому его числу, то проще всего судить по наименьшему вычету. Система представителей всех классов и есть полная система вычетов. Если, напр., модуль =10, то полной системой вычетов может служить ряд 0, 1,2,…, 9. С диалектической точки зрения полная система вычетов определяет собою границы возможных типов становления всей системы. Она определяет собою, сколько классов и какие классы чисел входят во всю систему модуля. Остается, след,;? чтобы все классы были реально построены согласно этой системе вычетов, и—мы получаем всю систему модуля как арифметически выразительную форму. Внутренняя структура модуля, т. е. первоначальный ряд кратных разностей, включается внешнесмысловым образом в виде различных классов чисел, точно зафиксированных по абсолютному значению чисел. Но внутренно–внешняя смысловая форма есть выражение.

2. а) В § 123, п. Зb, мы имели также указание на понятие кольца. Кольцо есть система с двойной композицией, так как оно является системой элементов, из которых каждая пара однозначно определяет их сумму и их произведение, причем эта сумма и это произведение тоже принадлежит к системе. Как и в отношении понятия группы (§ 124), эта композиционная структура кольца есть результат его перво–принципа, его принципа (структуры) и его становления. В наличном бытии кольца мы находим различные законы сложения и умножения элементов (коммутативность умножения необязательна), дающие возможность строить отдельные «классы» в пределах кольца. Тут необходимо заметить, что когда произведение равно нулю, то это еще не значит, что один из сомножителей всегда равен нулю. Когда ни один сомножитель не равен нулю (при произведении их =0), то они называются делителями нуля (пример: пары чисел, когда сложение и умножение этих пар определяется комплексно, образуют кольцо с делителями нуля). Если этих делителей нуля нет и кольцо коммутативно, его называют областью целостности.