e) Наконец, важно знать еще и то, что полная группа всех возможных подстановок данного числа знаков обладает одним специальным свойством. Именно, если под степенью группы понимать число знаков, участвующих в подстановках, то все η подстановок η знаков образуют т. н. симметрическую группу n–й степени. Такова, напр., тройная группа, приведенная выше в виде таблицы Кэли, или четверная, которую еще рельефнее можно выразить так:
Мы видим здесь замечательную симметрию знаков относительно обеих диагоналей таблицы. В теории групп доказывается, что симметрическая группа содержит
четных и столько [же] нечетных подстановок. Группа всех четных подстановок л знаков называется полусимметрической, или знакопеременной, группой.
4. До сих пор мы занимались, собственно говоря, только определением понятия группы, мало входя в рассмотрение ее структуры в собственном смысле. Но развитое выше понятие группы со всеми его подробностями в отношении структуры самой группы есть только перво–принцип. Поэтому развитая структура группы должна быть рассматриваема еще с весьма многочисленных точек зрения. Укажем некоторые понятия из теории групп, относящиеся к структуре группы.
a) Структура группы в ее принципе (а не перво–принципе), в ее бытии характеризуется различным комбинированием входящих в нее элементов. Введем необходимейшее понятие подгруппы. Это та группа, все элементы которой входят в другую группу; в отношении последней она и называется подгруппой. Структура группы выявляется проще всего при помощи разложения по модулю. Если Μ подгруппа J, то имеется известное количество элементов А, Б, С, … J таких, что J=MA+MB+MC+ …+MJ. Это значит, что мы компонируем последовательность элементов, составляющих подгруппу Μ со всеми элементами, входящими в но не входящи[ми] в М. Такое комбинирование называется разложением группы J по модулю М, а всякая система элементов А, В,… J называется полной системой вычетов по модулю М. Тут полная аналогия со структурой модуля в узком смысле (т. е. когда композицией является сложение и вычитание), о котором нам уже приходилось упоминать (п. 2а) и о котором еще будет речь в § 126.
Впрочем, если гнаться за диалектической точностью, то к «бытию», или «принципу», структуры группы относится не разложение по модулю, а самый модуль, потому что только он и есть идеальная картина разложения. Самое же разложение, т. е. реальное разложение, предполагает уже некое становление бытия (или принципа), и закон этого становления выражен именно полной системой вычетов. Таким образом, полная система вычетов есть позднейшая стадия; она не только не самое бытие, но даже и не самое становление; она—закон становления, т. е. ставшее.
На основании теоремы Лагранжа о том, что порядок любой подгруппы есть делитель порядка группы, определяют структуру низших групп. Так, нетрудно найти, что групп четвертого порядка—две. Поскольку 5 и 7—простые числа (а известно, что группа, порядок которой есть простое число, может быть только циклической), то для порядков 5 и 7 получается только один тип, циклическая группа. Для группы 6–го порядка возможны: 1) циклическая группа, образованная одним элементом 6–го порядка; 2) если же она не циклическая, то ее элементы могут быть 2–го или 3–го порядка, причем все не могут быть 2–го порядка. И т. д.
b) Несколько другой план структуры группы составляют т. н. сопряжения. Если в данной группе А, В, С являются элементами и В=С~ 1АС, то говорят, что В сопряжено с А, а сама эта операция получения Вт А называется преобразованием элемента А посредством элемента С. Всматриваясь в это понятие сопряжения, мы замечаем, что последнее есть полная аналогия равенству или, если угодно, подобию.
Но только это равенство или подобие нужно понимать,, так сказать, «групповым» способом. Отсюда сопряжения соответствуют не просто структуре группы в ее бытии, но структуре группы в ее становлении, ибо фигура должна быть погружена в становление, чтобы превращаться в другую фигуру, подобную ей. Сопряжениями бывают не только элементы, но и комплексы. Если какую–нибудь подгруппу данной группы будем преобразовывать всеми элементами группы, то мы получим подгруппы, сопряженные с данной подгруппой. Эти подгруппы, конечно, могут частично совпадать и одна с другой, и с первоначальной подгруппой. Ничто не помешает выбрать из них различные.
c) Отношение А->С –1АС называется также автоморфизмом, а именно внутренним автоморфизмом. След., внутренний автоморфизм мы получаем, в случае когда мы из данного элемента получаем его же самого, но с преобразованием при помощи другого элемента. Прочие автоморфизмы (если они существуют для данного элемента) называются внешними. Автоморфизм—это просто взаимно однозначное соответствие группы с самой собою. Это понятие совсем не так излишне, как это могло бы показаться с первого раза. Пусть, напр., мы имеем группу отражений, или переносов, геометрической фигуры, обусловливающую собою явление симметрии. Если бы здесь фигура не переходила в себя саму, то не было бы и самой группы ее отражений, или переносов. Тут же видно и то, что понятие автоморфизма (как и понятие сопряжения) предполагает становление структуры группы, так как без собственного перехода в инобытие группа не могла бы стать и автоморфной.
Соответственно–взаимная однозначность двух разных групп называется изоморфизмом или, точнее, однозначным, одноступенным изоморфизмом. Многозначный изоморфизм или тот, который охватывает все соотношения между элементами как в одной, так и в другой группе, но не предполагает взаимной однозначности, называется гомоморфизмом. Здесь каждому элементу одной группы соответствует один элемент другой группы, но одному элементу этой другой может соответствовать несколько элементов первой группы. Теоремы, связанные с фактами изоморфизма и гомоморфизма, явно предполагают инобытие группы в виде другой группы и их определенное структурное взаимоотношение (в частности, при изоморфизме—тождество).
d) Уже эта структурность становящихся групп есть нечто ставшее. Более заметно это на тех подгруппах, которые остаются неизменными в процессе, где становление группы яснее всего, т. е. оказываются неизменными относительно всех внутренних автоморфизмов группы.
Пусть мы имеем случай, когда все решительно подгруппы, сопряженные с первоначальной, совпадают с нею. Это будет значить, что наша подгруппа коммутирует со всяким элементом группы. Вместо любого элемента группы можно будет брать эту подгруппу во всех групповых операциях. Это далеко еще не значит, что каждый элемент этой подгруппы коммутирует с каждым элементом группы. Такую подгруппу называют инвариантной или нормальным делителем группы. Другими словами, нормальный делитель и есть подгруппа, инвариантная при всех внутренних автоморфизмах. И ясно, что здесь мы получаем указание на структуру группы как на нечто ставшее, так как сопряжение нашей исходной подгруппы с элементами группы пришло здесь к определенному результату. Тут мы реально подходим к тому наличному бытию групповой структуры, с которым столкнулись выше, в п. 4а. Нетрудно сообразить, что в Абелевых группах все подгруппы инвариантны. В группе всех подстановок трех знаков имеется один нормальный делитель: 1, (1, 2, 3), (1, 3, 2). Группа всех подстановок четырех знаков имеет нормальный делитель 12–го порядка и один 4–го. В каждой группе все элементы можно распределить на ряд классов без общих элементов так, что элементы одного класса сопряжены между собою, а элементы различных классов не сопряжены. Эти классы называются классами сопряженных элементов. Существует ряд интересных и простых теорем о нормальных делителях, которых мы здесь не будем касаться.
е) Наконец, выразительной стороной групповой структуры может явиться т. н. композиционный ряд. Назовем максимальной инвариантной подгруппой группы такую, что в последней не существует другая инвариантная подгруппа, которая бы содержала первую. Максимальных инвариантных подгрупп может быть несколько и—разных порядков. Так, циклическая группа 6–го порядка имеет максимальные инвариантные подгруппы 2–го и 3–го порядков. Можно всю группу расщеплять так, что получится ряд максимальных инвариантных групп, входящих одна в другую. Это и называется композиционным рядом. Таких рядов в группе может быть несколько. По теореме Жордана—Гёльдера, два композиционных ряда одной и той же группы всегда изоморфны.
