Теория возможных миров – даже в этом упрощенном и схематичном ее изложении – является хорошим средством для прояснения смысла логической необходимости.

Один из принципов логики говорит, что если утверждение логически необходимо, то оно истинно. В терминах возможных миров это положение перефразируется так: если утверждение истинно в каждом из миров, оно истинно и в действительном мире. Очевидно, что это так, поскольку последний является одним из возможных миров.

Сходным образом обосновываются и другие положения, касающиеся свойств логической необходимости и раскрывающие ее содержание.

Не успела в начале XX в. классическая математическая логика сложиться и окрепнуть, как началась энергичная ее критика. Эта критика велась с разных направлений. Результатом ее явилось возникновение целого ряда новых разделов современной логики, составивших в совокупности неклассическую логику. В ряде случаев оказалось, что реализованные при этом идеи активно обсуждались еще в античной и средневековой логике, но были основательно забыты в Новое время.

Несмотря на свои очевидные недостатки, классическая логика высказываний и логика предикатов остаются тем не менее ядром современной логики, сохраняющим свою теоретическую и практическую значимость. Явившись тем образцом, от которого отталкивались разнообразные неклассические системы, классическая логика, как правило, оказывается в определенном смысле предельным и притом наиболее простым случаем последних. Многие из них могут быть представлены как расширения классической логики, обогащающие ее выразительные средства.

Неклассическая логика представляет собой совокупность достаточно разнородных логических теорий, возникших в известной оппозиции к классической логике и являющихся во многом не только критикой последней и попыткой ее усовершенствования, но также ее дополнением и дальнейшим развитием идей, лежащих в основе современной логики.

В 1908 г. голландский математик Л. Брауэр подверг сомнению неограниченную применимость в математических рассуждениях классических законов исключенного третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства. Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А. Гейтингом и не содержащей указанных законов.

Еще в 1912 г. американский логик К. И. Льюис обратил внимание на так называемые «парадоксы импликации», характерные для формального аналога условного высказывания в классической логике – материальной импликации. В дальнейшем Льюис разработал первую неклассическую теорию логического следования, в основе которой лежало понятие строгой импликации, определявшееся в терминах логической невозможности.

К настоящему времени предложен целый ряд теорий, претендующих на более адекватное, чем даваемое классической логикой описание логического следования и условной связи. Наибольшую известность из них получила релевантная логика, развитая А. Р. Андерсоном и Н. Д. Белнапом.

На рубеже 20-х гг. Льюисом и Я. Лукасевичем были построены первые модальные логики, рассматривающие понятия необходимости, возможности, случайности и т. п. Тем самым в современной логике была возрождена тема модальностей, которой активно занимались еще Аристотель и средневековые логики.

В 20-е гг. начали складываться также многозначная логика, предполагающая, что утверждения являются не только истинными или ложными, но могут иметь и другие истинностные значения; деонтическая логика, изучающая логические связи нормативных высказываний; логика абсолютных оценок, исследующая логическую структуру и логические связи оценочных высказываний; вероятностная логика, попытавшаяся, но безуспешно, использовать теорию вероятностей для анализа индуктивных рассуждений, и др.

Все эти новые разделы не были непосредственно связаны с математикой, в сферу логического исследования вовлекались уже естественные, социальные и гуманитарные науки.

В дальнейшем сложились и нашли интересное применение логика времени, описывающая логические связи высказываний, у которых временной параметр включается в логическую форму; паранепроти-воречивая логика, не позволяющая выводить из противоречий все, что угодно; эпистемическая логика, изучающая понятия «опровержимо», «неразрешимо», «доказуемо», «убежден», «сомневается» т. п.; логика предпочтений, имеющая дело с высказываниями, содержащими понятия «лучше», «хуже», «равноценно»; логика абсолютных оценок, описывающая логические связи высказываний с абсолютными оценочными понятиями «хорошо», «плохо» и «безразлично»; логика изменения, говорящая об изменении и становлении; логика причинности, изучающая логические связи утверждений о причинности, и др.

Экстенсивный рост логики не завершился и сейчас.

Непосредственным результатом революции, произошедшей в логике в конце XIX – начале XX в., было возникновение теории, получившей со временем название «классическая логика». В ней впервые была реализована идея перенесения в логику тех методов, которые обычно применяются в математике, и прежде всего методов символизации, аксиоматизации и формализации.

Классическая логика является, таким образом, исторически первым этапом в развитии современной логики.

Классическая логика ориентировалась главным образом на анализ математических рассуждений. С этим связаны некоторые ее особенности, нередко оценивающиеся теперь как ее недостатки. В процессе развития она оказалась одной из многих логических теорий. Но это не означает, что ей принадлежит теперь только исторический интерес. Классическая логика по-прежнему остается ядром современной логики, сохраняющим как теоретическую, так и практическую ценность.

Разнообразные направления в логике, возникшие позднее, составляют то довольно неопределенное и разнородное целое, которое получило название неклассическая логика.

Различие между классическими и неклассическими логическими системами не сводится к чисто историческим моментам. Вторыми принимается во внимание, как правило, большее число факторов, определяющих логическую форму рассуждений. Результатом этого являются теории, дающие более полное и детализированное описание процессов мышления.

В числе неклассических логических теорий – интуиционистская логика, многозначная логика, модальная логика и др. Далее рассматривается только модальная логика.

Модальные высказывания – это высказывания, в которые входят модальные понятия, или модальности (от лат. modus – мера, образ, способ).

Модальная логика – раздел современной (неклассической) логики, занимающийся рассуждениями, в которые входят модальные высказывания.

Примеры модальных понятий: «возможно», «необходимо», «случайно», «убежден», «знает», «полагает», «обязательно», «разрешено», «запрещено», «хорошо», «безразлично», «плохо», «лучше», «хуже» и др.

Никакого точного и полного перечня модальных понятий не существует. Их круг широк, в языке они могут выражаться в разных контекстах разными словами.

Для логики, имеющей дело только с немодальными высказываниями, вещь существует или не существует, и нет никаких иных вариантов. Но как в обычной жизни, так и в науке постоянно приходится говорить не только о том, что есть в действительности и чего нет, но и о том, что должно быть или не должно быть, может быть или не может быть, чему хорошо быть, а чему плохо быть и т. д.

Действительный ход событий, в котором есть только «да» и «нет», можно рассматривать как реализацию одной из многих мыслимых возможностей, а действительный мир, в котором мы находимся, – как один из бесчисленного множества возможных, постепенно реализующихся миров.