Закон исключенного третьего кажется самоочевидным, и трудно представить, что кто-то мог предложить отказаться от него. И тем не менее в современной логике имеются системы, в которых этот закон отбрасывается. Далее об одной из таких систем – интуиционистской логике – пойдет речь.

Очевидное в одно время и в одних обстоятельствах способно потерять свою очевидность в другое время и в свете других обстоятельств. Закон исключенного третьего хорошо демонстрирует справедливость этого наблюдения.

Закон тождества – логический закон, согласно которому всякое высказывание влечет само себя.

Его можно передать также так: если высказывание истинно, то оно истинно.

Другая форма записи данного закона: «Если А, то А».

Например, если Земля вращается, то она вращается; если лингвист – ученый, то он ученый, и т. п. Чистое утверждение тождества кажется настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.

Закон тождества кажется в высшей степени очевидным. Однако его тоже ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается той же, то она остается той же.

Закон контрапозиции говорит о перемене позиций высказываний с помощью отрицания.

Закон контрапозиции – логический закон, позволяющий с помощью отрицания менять местами основания и следствие (антецедент и консеквент) условного высказывания.

Данный закон позволяет из высказывания «Если А, то В» выводить высказывание «Если не-В, то не-А».

Например, из высказывания «Если есть огонь, то есть дым» по этому закону логически следует высказывание «Если нет дыма, то нет и огня».

Поскольку данный закон говорит о логическом следовании, его можно представить более наглядно в такой форме:

Если А, то В.

Если не-В, то не-А.

Еще один вариант этого же закона:

Если не-А, то не-В.

Если В, то А.

Например, из высказывания «Если рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется» вытекает высказывание «Если рукопись публикуется, она получила положительный отзыв».

Контрапозиция – это, выражаясь шахматным языком, рокировка высказываний. Редкая шахматная партия обходится без рокировки, и редкое наше рассуждение проходит без использования контрапозиции.

Именем английского логика А. де Моргана называются логические законы, связывающие высказывания, образованные с помощью связок «и» и «или».

Закон де Моргана – общее название логических законов, связывающих с помощью отрицания конъюнкцию («и») и дизъюнкцию («или»).

Один из этих законов утверждает: высказывание «А и В» эквивалентно высказыванию «Неверно, что не-А или не-В».

Например, из высказывания «Завтра будет холодно и завтра будет дождливо» логически следует высказывание «Неверно, что завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо», и наоборот.

Другой закон де Моргана гласит: высказывание «А или В» эквивалентно высказыванию «Неверно, что не-А и не-В».

Например, из высказывания «Идет дождь или идет снег» следует высказывание «Неверно, что нет дождя и нет снега», и наоборот.

На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, используя отрицание, через «или», а «или» определить через «и»:

«А и В» означает «неверно не-А или не-В»,

«А или В» означает «неверно не-А и не-В».

«Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам. Некоторые из них теперь обычно называются иначе, чем раньше.

Правило отделения (модус поненс) – логический закон, позволяющий от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия условного высказывания.

Другая формулировка правила отделения:

Если А, то В; А.

В.

Здесь высказывания «Если А, то В» и «А» – посылки умозаключения, высказывание «В» – заключение. Например:

Если у человека диабет, он болен.

У человека диабет.

Человек болен.

Благодаря правилу отделения, от посылки «Если А, то В», используя посылку «А», мы отделяем заключение «В». Рассуждение по правилу отделения идет от утверждения основания условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путают со сходным, но логически неправильным ее движением: от утверждения следствия условного высказывания к утверждению его основания. Например, внешне сходное с правилом отделения умозаключение:

Если бы электролит был металлом, он проводил бы электрический ток.

Электролит проводит электрический ток.

Электролит – металл.

не является логически корректным. Рассуждая по последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, а от подтверждения следствия к подтверждению основания – нет.

Правило фальсификации (модус толленс) – логический закон, позволяющий от отрицания следствия условного высказывания переходить к отрицанию основания этого высказывания.

Если А, то В. Неверно В.

Неверно А.

Например: «Если бы семь делилось на два, оно было бы четным числом. Но семь не является четным. Следовательно, семь не делится на два».

На основе правила фальсификации идет процесс фальсификации, установления ложности теории (или гипотезы) путем выведения из нее ложных эмпирических следствий. Для проверки какой-то теории Т из нее выводится некоторое проверяемое опытным путем утверждение А, т. е. устанавливается условная связь «Если Т, то А». Посредством наблюдения или эксперимента утверждение А сопоставляется с реальным положением дел. Выясняется, что А ложно, а истинно утверждение не-А. Из посылок «Если Т, то А» и «Неверно, что А» следует «Неверно, что Т». Теория Т оказывается, таким образом, ошибочной и нуждается в исправлении или даже в замене ее новой теорией.

С правилом фальсификации нередко путают внешне сходное с ним умозаключение, в котором от утверждения условного высказывания и отрицания его основания осуществляется переход к отрицанию следствия.

Пример такого неправильного рассуждения:

Если у человека повышенная температура, он болен.

У человека нет повышенной температуры.

Неверно, что он болен.

Это рассуждение ведет от истинных посылок к ложному заключению, если речь идет о человеке, болезнь которого протекает без повышения температуры. Против смешения правила фальсификации с этой некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания можно переходить к отрицанию основания этого высказывания, а от отрицания основания к отрицанию следствия – нельзя.

Утверждающе-отрицающий модус – логический закон, позволяющий из посылок «Либо А, либо В» и «А» вывести заключение «Неверно В».

Другая форма записи:

Либо А, либо В; А.

Неверно В.

Посредством данной схемы рассуждения от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы. Например: «Либо Южный полюс открыл Амундсен, либо этот полюс открыл Скотт. Южный полюс открыл Амундсен. Следовательно, неверно, что Южный полюс был открыт Скоттом».