И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание, кроме функции обоснования, может выполнять также целый ряд других задач. Оно может формулировать условие, не связанное с каким-либо подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»), фиксировать какую-то последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»), выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»), противопоставлять («Если в огороде растёт бузина, то в Киеве живёт дядька») и т.п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняют его анализ.

Употребление условного высказывания связано с определёнными психологическими факторами. Так, обычно мы формулируем условное высказывание, если не знаем с определённостью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае употребление такого высказывания кажется неестественным («Если вата – металл, она электропроводка»).

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление связки «если …, то …», освобождает его от влияния психологических факторов.

Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться не только с помощью связки «если …, то …», но и с помощью других языковых средств. К примеру: «Так как вода жидкость, она передаёт давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводно» и т.п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики посредством импликации, хотя употребление в них «если …, то …» было бы не совсем естественным.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы её основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) – ложным.

Это определение как и предыдущие определения связок предполагает, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений составляющих его высказываний и способа их связи.

Для установления истинности импликации «если A, то B» достаточно, таким образом, выяснить истинностные значения высказывании A и B. Из четырех возможных случаев импликация истинна в следующих трех:

(1) и её основание, и её следствие истинны;

(2) основание ложно, а следствие истинно;

(3) и основание, и следствие ложны.

Только в четвёртом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.

Будем обозначать импликацию символом →. Таблица истинности для импликации приводится.

Смысл импликации, как одной из логических связок, полностью определён этой таблицей, и ничего другого импликация не подразумевает.

Импликация, в частности, не предполагает, что высказывания A и B как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности B высказывание «если A, то B» истинно независимо от того, является A истинным или ложным и связано оно по смыслу с B или нет. Истинными считаются, например, высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырём», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. Условное высказывание истинно также тогда, когда A ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно B или нет и связано оно по содержанию с A или нет. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио маленький город» и т.п. В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и ещё в меньшей степени как истинные.

Очевидно, что хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты «логического поведения» условного высказывания, но вместе с тем не является достаточно адекватным его описанием.

В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении, наряду с ним, другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.

С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность – сложное высказывание «A, если и только если B», образованное из высказываний A и B и разлагающееся на две импликации: «если A, то B» и «если B, то A». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «…, если и только если …», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «…, если и только если …» для этой цели могут использоваться «… в том и только том случае, когда…», «… тогда и только тогда, когда…» и т.п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющие её высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т.е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в неё высказываний истинно, а другое ложно.

Обозначим эквивалентность символом ↔, формула A ↔ B может быть прочитана так: «A, если и только если B». Таблица истинности для эквивалентности приводится.

С использованием введённой логической символики связь эквивалентности и импликации можно представить так: «A ↔ B» означает «(А → В) & (В → А)».

Например: высказывание «Ромб является квадратом, если и только если все углы ромба прямые» означает «Если ромб есть квадрат, то все углы ромба прямые, и если все углы ромба прямые, то ромб есть квадрат».

Эквивалентность является отношением типа равенства. Как и всякое такое отношение, эквивалентность высказываний является рефлексивной (всякое высказывание эквивалентно самому себе), симметричной (если одно высказывание эквивалентно другому, то второе эквивалентно первому) и транзитивной (если одно высказывание эквивалентно другому, а другое – третьему, то первое высказывание эквивалентно третьему).

В следующей таблице перечислены все шесть связок, которые были введены ранее:

Следующие примеры показывают употребление данных связок.

Эти таблицы показывают, что формулы (А → A), (A v ~ A), ~ (A & ~ А), ((А → В) & А) → B и ((A → В) & ~ В) → ~ A принимают значение истинно при любых значениях входящих в них переменных. Такие формулы называются общезначимыми, или тождественно истинными, или тавтологиями. Более подробно об общезначимых формулах, представляющих законы логики, говорится в главе, посвящённой этим законам.

И в обычном языке, и в логике употребляется несколько видов высказываний. До сих пор речь шла только об одном из них – об описательных высказываниях. Главной функцией описательного высказывания является описание действительности. Если высказывание описывает реальное положение дел, оно считается истинным, если не соответствует реальности – ложным. Обычно само понятие описательного высказывания определяют в терминах истины и лжи: высказывание есть повествовательное предложение, рассматриваемое вместе с его содержанием (смыслом) как истинное или ложное.