DE/AC=5/2=ED/AB=EF/BC

Итак, если углы одного треугольника равны углам другого, то стороны, прилегающие к равным углам (или лежащие против равных углов) пропорциональны.

П р и м е ч а н и е. Стороны треугольников могут иметь такую длину, что невозможно выполнить деление их, как указано было на черт. 191: ни одна точка деления не приходится в точке М. Однако, рассмотренное сейчас свойство сохраняется и в таком случае (это доказывается в более полных учебниках).

Мы сейчас доказали, что в двух треугольниках при равенстве, углов стороны должны быть пропорциональны. Покажем теперь, что и наоборот: при пропорциональности сторон треугольники имеют соответственно равные углы.

Это надо понимать так. Если длины сторон двух треугольников (напр. I и II на черт. 193) таковы, что

a/e = b/f = c/g

то угол против стороны aравен углу против стороны е, угол против b= углу против f, и угол против c = углу против g.

В этом легко убедиться, отложив (черт. 194) от вершины треугольника I на стороне а сторону е и проведя через конец ее прямую х, параллельную с. Она отсечет от треугольника I меньший треугольник III, стороны которого обозначим через е, х, у. Этот треугольник III имеет углы соответственно равные углам треугольника I. А мы сейчас доказали, что в таком случае

a/e=c/x=b/y

Нам известно, что a/e=b/f =c/g. Значит,

b/y=c/x=b/f=c/g

Но если

b/y=b/f

то y= f. А из равенства

c/x=c/g

следует, что x = g.

Другими словами: все стороны треугольника III равны сторонам треугольника II; а так как углы треугольника III равны углам треугольника I, то и углы треугольника II равны углам треугольника I. Это и требовалось доказать.

Повторительные вопросы к §§ 64 и 65

Как вы назовете фигуры, имеющие равные стороны и одинаковую форму? – Равные стороны и неодинаковую форму? Неравные стороны и одинаковую форму? – Какие стороны многоугольников называются сходственными? – Покажите, пользуясь чертежом, какие условия необходимы для подобия двух многоугольников. Покажите, пользуясь чертежом, какие соотношения существуют в двух подобных треугольниках. – Какие стороны подобных треугольников называются сходственными? А в каком случае стороны называются соответственными?

Применения

75. Найти высоту дерева, пользуясь его тенью.

Р е ш е н и е. Где-нибудь возле дерева воткнем отвесно шест MN(черт. 195). Так как лучи солнца параллельны, то уг. Р = уг. С; кроме того, мы знаем, что уг. В и уг. N– прямые. Значит, треугольники ABCи MNPподобны и, следовательно,

AB/MN = BC/NP

откуда неизвестная высота дерева

AB = MN ? BC/NP

Высоту шеста МN и длину теней DС и NPлегко измерить, и тогда вычисляют высоту АВ дерева.

76. В пасмурный день можно пользоваться для определения высоты дерева способом, изображенным на черт. 196. В чем он состоит?

Р е ш е н и е. Наблюдатель помещает шест DE так, чтобы глядя на конец его D видеть его совпадающим с вершиной A. Измеряют DЕ, НЕ и НВ, кроме того, надо знать возвышение GН глаза Gнад почвой. Из подобия треугольников GАС и GDF имеем

AC/DF = DC/GF.

Дальнейшее – понятно без объяснений.

77. На черт. 197 изображен способ определения ширины АВ озера. Прямая CDпровешивается параллельно АВ. Объясните, как найти искомую ширину (АВ) озера.

Р е ш е н и е. Из подобия треугольников ABE и СDE имеем

AB/CD=BE/DE, откуда AB=CD BE/DE

так как длины CD, BE и DE можно измерить, то нетрудно вычислить искомую ширину (АВ) озера.

78. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз; расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 километров. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром (черт. 198).

Р е ш е н и е. Из подобия треугольников АОЕ и СРЕ (почему они подобны?) имеем

PE/OE = PC/OC

РЕ – есть искомая длина х тени; DE= OP+ РЕ = 150 000 000 км + x; PC– радиус Земли; ОА – радиус Солнца. Мы знаем, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли. Подставив эти величины в пропорцию, имеем

X/150 000 000 = 1/109

или 109х = 150 000 000 + x, откуда

x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км.

На практике приходится нередко отыскивать отрезок такой длины, чтобы вместе с тремя данными отрезками могла быть составлена пропорция. Пусть, например, даны три отрезка а, b и с (черт. 199) и требуется отыскать четвертый отрезок х такой длины, чтобы возможна была пропорция:

а: b = с: х.

Задача эта решается так. На прямой линии (черт. 200) откладывают от точки М отрезки а и b. Под произвольным углом к а от точки М проводят прямую, на которой откладывают отрезок с. Концы N и Р отрезков а и с соединяют прямой и через конец Q отрезка b проводят QR параллельно NP. Отрезок MR и есть четвертая пропорциональная х, потому что

а: b = с: х.

Решение подобных задач называется «построением 4-й пропорциональной».

а: b = с: х.

Повторительные вопросы

Что значит: «построить 4-ую пропорциональную»? – Какие вы знаете способы ее построения?

Применения

79. Прямоугольник со сторонами а и h(черт. 201) превратить в равновеликий прямоугольник с основанием b.

Р е ш е н и е. Надо начертить прямоугольник с основанием b и такой высотой х, чтобы bх = ax

Из последнего равенства вытекает пропорция b/a = h/x.

Следовательно, искомая высота х есть 4-я пропорциональная к a, h и b. Построив; ее по указанному раньше способу, мы сможем начертить и искомый прямо угольник.

80. Начертить прямоугольник с высотою b, равновеликий треугольнику с основанием а и высотою h.

Р е ш е н и е сводится к нахождению основания прямоугольника такой длины x, чтобы bх = bx = ah/2., т. е.,

чтобы x: a/2 = h: b

Значит, отрезок х есть 4-я пропорциональная к,a/2.h и b

81. Средняя линия трапеции p, высота – q. Построить равновеликий ей прямоугольник со стороною b.

Р е ш е н и е. Прямоугольник легко можно построить, если найдена будет его другая сторона х такой длины, что bx= pq, и следовательно х : р = д : b. Значит, х есть 4-я пропорциональная к р, q и b.

На свойстве подобных треугольников основано устройство так называемого «поперечного масштаба», которым пользуются при черчении планов. Устройство его показано на черт. 202. Пусть расстояние BA соответствует на плане в каком-нибудь определенном масштабе, 1 километру (или 5, 10, 20 километрам) в натуре. Это расстояние разделено на 10.равных частей; на столько же частей разделено» и расстояние KL= АВ; АК перпендикулярно к АВ и к КL; точки деления АВ и КL соединены между собою наклонными линиями, как показано на чертеже. После сказанного в § 57 понятно, что отрезки параллельных прямых, отсекаемых: углом OLBсоставляют последовательно (считая от вершины L) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4 и т. д. отрезка ОВ. А так как отрезок ОB сам составляет 0,1 длины АВ, то указанные отрезки составляют 0,01, 0,2, 0,03 и т. д. длины АВ.