[b– а] + [с – b1] + (d– с1) – (е – d1) – [е1 – f].

Раскрыв скобки, имеем

b– а + с – b1 + d– с1 – е – d1 – е1 – f

или

b+ с + d+ е + f– [а + b1 + с1 + d1 + е1].

С основными свойствами всякого треугольника мы познакомились в §§ 15–22. Самые главные из них следующие: сумма углов треугольника равна 180°; треугольники равны друг другу или по трем сторонам, или по двум сторонам и углу между ними, или по одной стороне и двум углам (для краткости мы обозначили эти случаи так: ССС, СУС, УСУ). Теперь познакомимся с некоторыми новыми свойствами треугольников.

Предварительные упражнения

Укажите равные треугольники в фигуре черт. 134, где АВ = АС, a AD– равноделящая угла А.

Каковы углы ADB и ADС на черт. 134: острые или тупые?

Мы знаем, что в р а в н ы х треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Покажем, что и

в о д н о м и т о м ж е т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х с т о р о н л е ж а т р а в н ы е у г л ы.

Пусть у нас взят треугольник ABC (черт. 135), в котором сторона АВ равна стороне АС. Легко убедиться, что в таком треугольнике углы В и С, лежащие против равных сторон, равны между собой. Если в нашем треугольнике проведем (черт. 136) равноделящую АD угла А, она разобьет ABCна два треугольника: АDB и АDС, которые равны между собой (СУС). По этому угол В, лежащий против AD, равен углу С, лежащему против той же общей стороны.

Треугольник с двумя равными сторонами называетс я р а в н о б е д р е н н ы м; его равнее стороны называются б о к о в ы м и с т о р о н а м и этого треугольника, а третья сторона – его о с н о в а н и е м.

Поэтому рассмотренное сейчас свойство треугольника можно высказать короче так:

в р а в н о б е д р е н н о м т р е у г о л ь н и к е у гл ы п р и о с н о в а н и и р а в н ы.

Можно удостовериться и в обратном соотношении: если в треугольнике имеются равные углы, то стороны, лежащие против этих углов, – равны; или-короче сказать:

в т р е у г о л ь н и к е п р о т и в р а в н ы х у г л о в л е ж а т р а в н ы е с т о р о н ы.

Чтобы убедиться в этом, возьмем треугольник (черт. 135), в котором два угла равны: уг. B = уг. C. Проведем (черт. 136) равноделящую AD; в образовавшихся двух треугольниках ADB и ADCсторона AD – общая, уг. BAD = уг. CAD, уг. В = уг. C; следовательно, треугольники равны (УСУ), и потому АВ = АС.

Применения

52. Огород имеет форму равнобедренного треугольника, одна сторона которого на 40 м длиннее другой. Обвод огорода 200 м. Какова длина каждой стороны? Сколько решений имеет эта задача?

Р е ш е н и е. Если оcнование этого треуголь ника больше боковых сторон, то, обозначив его через х, имеем уравнение

х + х – 40 + х – 40 = 200,

из которого находим: х =280/3 = 93 1/3 м.

Значит, в таком случае стороны треугольника имеют длину: 93 1/3 м, 531/3 м и 531/3 м.

Если же основание к о р о ч е боковых сторон, то составляем уравнение

y + y + 40 + y + 40 = 200,

из которого y = 40 м. Следовательно, второе решение задачи 40 м, 80 м и 80 м.

53. Кровля, в зависимости от материала, из которого она сделана, должна составлять с горизонтальной линией следующие углы (черт. 137):

Железная и цинковая. . . 30°

Толевая. . . . . . . . . . 18°

Черепичная. . . . . . . . 40°

Тесовая. . . . . . . . . . 45°

Соломенная. . . . . . . . 60°

Зная это, определите, какой угол должны составлять между собой стропильные ноги двускатной крыши в каждом случае.

Р е ш е н и е. Для железной кровли искомый угол равен 180° – 2 ? 300 = 120°; для толевой 180° – 2 ? 18° = 144°; для черепичной 180° – 2 ? 40° = 100°; для тесовой 180° – 2 ? 45° = 90°; для соломенной 180° – 2 ? 60° = 60°.

Из свойств равнобедренного треугольника вытекает следующая особенность угла, вписанного в полукруг (черт. 138) или: как его иначе называют – «опирающего на диаметр»:

У г о л, о п и р а ю щ и й с я н а д и а м е т р, р а в е н п р я м о м у.

«Опирающимся на диаметр», или «вписанным в полукруг» называют такой угол, вершина которого лежит на дуге окружности, а стороны проходят через концы диаметра; таковы углы: 1 на черт. 138 и 2 на черт. 139. Желая удостовериться, что такой угол во всех случаях равен 90°, мы соединяем центр О полукруга (черт. 140) с вершиной В угла. Получаем два равнобедренных треугольника АОВ и ВОС (почему они равнобедренные?). В них

уг. 2 = уг. 1

уг. 3 = уг. 4.

Отсюда уг. 2 + уг. 3 (т. е. уг. АВС) = уг. 1 + уг. 4. Но так как уг. АВС + уг. 1 + уг. 4 = 180°, то уг. ABC= 90°.

Этим свойством окружности пользуются нередко для того, чтобы в изделиях проверять полуокружность помощью чертежного треугольника (как?).

В треугольнике, мы знаем, может быть только один прямой угол. Такой треугольник называется п р я м о у г о л ь н ы м. Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: каждая из сторон, между которыми лежит прямой угол, называется к а т е т о м, а сторона против прямого угла называется г и п о т е-н у з о й.

Применения

54. Через точку С (черт. 141) на прямой MNнужно провести перпендикуляр. Как это сделать?

Р е ш е н и е. Отложив (черт. 142) от С в обе стороны по какому-нибудь равному отрезку, т. е. CA= CB, описываем около А и В, как центров, каким-нибудь радиусом дуги; прямая PC, соединяющая точку Р пересечения дуг с точкой С, перпендикулярна к МN. Действительно, треугольники АР С и ВРС, получающиеся после соединения А и В с P, равны (СУС); следовательно, уг. АСР = уг. ВСР, а так как эти углы смежные, то они – прямые.

55. Через точку С (черт. 143) вне прямой МN про вести к этой прямой перпендикуляр.

Р е ш е н и е. Около точки С, как около центра, описываем каким-нибудь радиусом дугу АВ (черт. 144);

затем около точек А и В каким-нибудь радиусом описываем дуги D. Прямая DС перпендикулярна к МN. Чтобы убедиться в этом, соединим С и Dс А и В.

Треугольники ACDи ВCD равны (ССС), следовательно, уг. ACD= уг. DCВ, и значит, треугольник АСО = ВСО (СУС). Отсюда уг. AОС = уг. ВОС, а так как эти углы смежные, то они прямые.