56. Объясните, почему каждая точка М прямой ВM, делящей пополам угол АВС (черт. 145) одинаково отстоит от сторон АВ и ВС угла (т. е. почему, например, MK= ML?).

Р е ш е н и е. Треугольники ВML и ВМК равны (УСУ).

Треугольник с тремя равными сторонами называется р а в н о с т о р о н н и м. Так как против равных сторон в одном и том же треугольнике лежат равные углы, то все углы равностороннего треугольника равны, и, следовательно, каждый из них равен. 180°: 3 = 60°.

Обратно: если каждый угол треугольника равен 60°, то все стороны такого треугольника одинаковы, – потому что, против равных углов в одном и том же треугольнике лежат, равные стороны.

Применения

57. Без транспортира построить угол в 60°. В 30°. В 15°. В 120°. В 75°.

Р е ш е н и е. Строим равносторонний треугольник произвольных размеров; каждый его угол = 60°. Разделив угол этого треугольника пополам, получим угол в 30°. Разделив еще раз пополам, будем иметь угол в 15°. Угол в 120° = 90° + 30°. Угол в 75° =60° + 15° = 90° – 15°.

Предварительное упражнение

Равносторонний треугольник разбит равноделящей одного из углов на два треугольника. Определить их углы.

уг. D= 60°; а так как и уг. ABD= 60°, то треугольник ABD– равносторонний, и следовательно, AD= АВ. Но АС = 1/2 АD (почему?); отсюда АС = 1/2 АВ.

Итак, мы убедились, что

к а т е т п р о т и в у г л а в 30° р а в е н п о л о в и н е г и п о т е н у з ы.

Применения

58. Лестница длиною 6 м приставлена к фонарному столбу под углом 30° к нему (черт 148). Каково расстояние от основания лестницы до основания фонаря?

Р е ш е н и е. Так как катет против 30° равен половине гипотенузы, то искомое расстояние = 3 м.

59. Длина стропильной ноги АС (черт. 137) вдвое больше высоты ADстропильной фермы. Определить угол наклона этой кровли к горизонту.

Р е ш е н и е. Искомый угол СAD = 30°, так как только при таком условии CD равно половине АС.

Пусть у нас имеется прямоугольный треугольник (черт. 146) ABC, один угол которого, именно В, равен 30°. Перегнем мысленно треугольник по катету ВС. Тогда займет положение ВСD (черт. 147), при чем CD составит продолжение АС, потому что уг. ВСD + ВСА = развернутому. Уг. СВD = уг. ABC= 30°; значит, уг. А = 60°;

Мы знаем, что если в треугольнике есть равные стороны, то углы, лежащие против них, тоже равны. Рассмотрим теперь, каково соотношение между сторонами и углами в случае н е р а в н ы х сторон.

Предварительное упражнение

В фигуре черт. 149 укажите какой угол больше: уг. 1 или у г. 2?

В фигуре черт. 151 АВ = AD. Какой угол больше; уг. С или у г. 1?

Покажем, что в

т р е у г о л ь н и к е с н е р а в н ы м и с т о р о н а м и п р о т и в б о л ь ш е й с т о р о н ы л е ж и т б о л ь ш и й у г о л. Пусть в треугольнике АВС (черт. 150) сторона АС больше «стороны АВ. Отложим от вершины образуемого ими угла меньшую сторону АВ на большей АС получим точку D. Соединив Dс В, имеем равнобедренный треугольник ABD, в котором угол 1 = уг. 2. Угол С меньше угла 1, а значить, подавно меньше угла. ABC. Таким образом мы убеждаемся, что против большей стороны [АС] лежит больший угол [ABC].

Нетрудно удостовериться, что и обратно: если в треугольнике имеются неравные углы, то

п р о т и в б о л ь ш е г о у г л а л е ж и т б о л ь ш а я с т о р о н а.

Пусть мы знаем, что в треугольнике (черт. 151) ABC уг. А больше угла С. Тогда сторона ВС не может быть равна АВ: иначе уг. А равнялся бы углу С; не может сторона ВС быть и м е н ь ш е: АВ – тогда уг. А был бы м е н ь ш е угла С (а мы знаем, что уг. А б о л ь ш е уг. С). Не равен и не меньше, значит – больше.

Применения

60. Что больше: гипотенуза или катет?

Р е ш е н и е. Гипотенуза, как сторона, лежащая против самого большого угла треугольника, длиннее каждого катета.

61. Угол при вершине равнобедренного треугольника = 70°. Что длиннее: основание или боковая сторона?

Р е ш е н и е. Углы при основании равны (180°-70°) / 2 = 65°.

Так как угол прш вершине больше, то основание больше боковых сторон.

Повторительные вопросы к §§ 48–53

Каково соотношение между углами треугольника, две стороны которого равны? – каково соотношение между сторонами треугольника, имеющего два равных угла? – Каковы соотношения в треугольнике с неравными сторонами? – С нерав-нымиуглами? – Какой треугольник называется равнобедренным? – Какая сторона такого треугольника называется боковой? – Какая называется основанием? – Как называется треугольник, имеющий два равных угла? – Сколько градусов в угле, опирающемся на диаметр? – Какой треугольник называется прямоугольным? – Что называется гипотенузой? – Катетами? – По каким признакам можно установить равенство прямоугольных треугольников? – Какой треугольник называется равносторонним? – Как велики его углы? – Каково соотношение между гипотенузой и катетом, лежащим против угла в 1/3 прямого?

Если из точки проведен к прямой перпендикуляр, – например, CD (черт. 152), то точка D называется

о с н о в а н и е м п е р п е н д и к у л я р а. Всякая другая линия, проведенная через точку С к прямой А В, встречает ее не под прямым углом (почему?) и называется наклонной; например, СЕ, CF – наклонные. Точки Е, F – о с н о в а н и я наклонных.

Расстояния DE, DF от основания перпендикуляра до оснований наклонных называются проекциями этих наклонных: DE – проекция наклонной СЕ, a DF – проекция наклонной CF.

Рассмотрим некоторые соотношения между перпендикуляром, наклонными и их проекциями.

1) Перпендикуляр короче каждой наклонной, проведенной к той же прямой из той же точки. Например, CD на черт. 152 короче, чем CF и чем СЕ, потому что катет короче гипотенузы. Перпендикуляр есть поэтому самое короткое расстояние от точки до прямой. Когда говорят о расстоянии точки от какой-нибудь прямой, то имеют в виду именно к р а т ч а й ш е е расстояние,

т. е. п е р п е н д и к у л я р из точки на эту прямую.

2) Если из какой-нибудь точки проведены к прямой две наклонные о д и н а к о в о й длины, – напр., АВ и АС на черт. 153, то проекции этих наклонных р а в н ы. В самом деле: треугольники ABD и ACD имеют общий катет AD, равные гипотенузы АВ и АС и кроме того, уг. B= уг. С (§ 52); поэтому они равны (СУС), и значит, катет ОВ = катету DC.

3) Обратно: если равны проекции двух наклонных, проведенных к прямой из одной точки, то эти наклонные имеют одинаковую длину. Если бы на черт. 153 нам не было известно, что наклонные АВ и АС равны, но взамен этого мы знали бы, что BD= DC, то установили бы равенство АВ и АС из равенства прямоугольных треугольников ADB и ADC(СУС).