Автоматическое устройство, вырабатывающее управляющие воздействия на объект, называется экстремальным регулятором. Экстремальные регуляторы предназначены для управления такими объектами, у которых зависимость показателя качества функционирования от регулирующего воздействия имеет один экстремум (максимум или минимум). Качество работы регулятора определяют величина и частота пробных воздействий, величина н скорость вариаций регулирующих (рабочих) воздействий, чувствительность и др. В СССР и за рубежом серийно выпускаются электронные, гидравлические и пневматические регуляторы для Э. р., структура и конструктивные особенности которых определяются назначением и областью использования того или иного регулятора.

  Экстремальный регулятор в совокупности с объектом регулирования образуют систему экстремального регулирования (СЭР), или систему оптимизации, по принципу управления различают СЭР разомкнутые (основанные на принципе управления по возмущению), замкнутые (основанные на принципе обратной связи) и комбинированные (совмещающие оба принципа одновременно). Наибольшее распространение получили замкнутые СЭР, обеспечивающие высокую точность , разомкнутые СЭР, несмотря на многие преимущества их по сравнению с замкнутыми СЭР (высокое быстродействие, отсутствие поисковых движений и т. д.), применяются ограниченно, главным образом в тех случаях, когда все основные возмущения, действующие на объект управления, могут быть измерены; комбинированные СЭР сочетают основные преимущества замкнутых и разомкнутых систем — точность и быстродействие.

  Важнейшими показателями, характеризующими качество функционирования СЭР, являются: для статических объектов — время поиска экстремума (быстродействие СЭР) и отклонение оптимизируемой величины от экстремального значения в установившемся режиме (т. н. потери на поиск); для динамических объектов, кроме уже указанных,— требования к характеру переходного процесса поиска (монотонность, отсутствие перерегулирования и т. п.). Выбор конкретной СЭР, как правило, тесно связан со спецификой управляемого объекта.

  Первые работы в области Э. р. принадлежат М. Леблану и Т. Штейну (Франция, 1922); систематическое изучение Э. р. как нового направления в развитии систем автоматического управления впервые было начато В. В. Казакевичем (СССР, 1944); изучение СЭР было продолжено в 50-x гг. 20 в. Ч. Драйпером и В. Ли (США). В 60-х гг. Э. р. оформилось в самостоятельное направление в теории нелинейных систем автоматического управления, а СЭР получили широкое применение (например, при настройке резонансных контуров и автоматических измерительных устройств, при отыскании оптимальных параметров настраиваемых моделей, при управлении химическими реакторами, нагревательными установками, процессами флотации, дробления).

  Лит.: Красовский А. А., Динамика непрерывных самонастраивающихся систем, М., 1963; Моросанов И. С., Релейные экстремальные системы, М., 1964; Кунцевич В. М., Импульсные самонастраивающиеся и экстремальные системы автоматического управления, К., 1966; Растригин Л. А., Системы экстремального управления, М., 1974.

  С. К. Коровин.

Экстрема'льный регуля'тор,регулятор , автоматически отыскивающий и поддерживающий такие значения регулирующих воздействий, при которых показатель качества работы регулируемого объекта достигает экстремального значения. См. Экстремальное регулирование .

Экстреми'зм (франц. extremisme, от лат. extremus — крайний), приверженность к крайним взглядам и мерам (обычно в политике).

Экстре'мум (от лат. extremum — крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х функция f (x) имеет в x максимум (минимум), если существует окрестность (x + d, x₀ — d) этой точки, содержащаяся в области определения f (x ), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x ), ³ f (x ) [соответственно, f (x ) £ f (x )]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x ) > f (x ) [или f (x ) << f (x )] при х ¹ x , то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x ) имела Э. в некоторой точке x , необходимо, чтобы она была непрерывна в x и чтобы либо f` (x ) = 0 (точка А на рис. 1 ), либо f` (x ) не существовала (точка С на рис. 1 ). Если при этом в некоторой окрестности точки x производная f' (x ) слева от x положительна, а справа отрицательна, то f (x ) имеет в x максимум; если f' (x ) слева от x отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f' (x ) не меняет знака при переходе через точку x , то функция f (x ) не имеет Э. в точке x (точки D, Е и F на рис. 1 ). Если f (x ) в точке x имеет п последовательных производных, причём f' (x ) = f`` (x ) =...= f ^(n-1) (x )=0, a f ⁽ⁿ⁾ (x )¹0, то при п нечётном f (x ) не имеет Э. в точке x , а при п чётном имеет минимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x ) > 0, и максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x ) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции .

  Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М , на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х , y ) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у ) и в самой точке f'_x = f'_y = 0,

  D = f''_xx f'' _уу > 0,

  то f (x, у ) в точке М имеет Э. (максимум при f ''_xx < 0 и минимум при f ''_xx > 0); Э. в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4 ).

  Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

  Sⁿ_{i, k=1} a_ik Dx_i Dx_k

  где a_ik — значение f''x_i x_k в исследуемой точке. См. также Условный экстремум .

  Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении .