Т. о., понятия координаты и импульса в классическом смысле не могут быть применены к микроскопическим объектам. Пользуясь этими величинами при описании микроскопической системы, необходимо внести в их интерпретацию квантовые поправки. Такой поправкой и является Н. с.
Несколько иной смысл имеет Н. с. для энергии Е и времени t,
Если система находится в стационарном состоянии (т. е. в состоянии, которое при отсутствии внешних сил не изменяется), то из Н. с. следует, что энергию системы в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей
где Dt — длительность процесса измерения. Причина этого — во взаимодействии системы с измерительным прибором, и Н. с. применительно к данному случаю означает, что энергию взаимодействия между измерительным прибором и исследуемой системой можно учесть лишь с точностью до
(в предельном случае мгновенного измерения возникающий энергетический обмен становится полностью неопределённым). Соотношение
справедливо также, если под DЕ понимать неопределённость значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под Dt — характерное время, в течение которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе.
Н. с. для энергии и времени приводит к важным выводам относительно возбуждённых состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и из Н. с. вытекает, что энергии возбуждённых уровней не могут быть строго определёнными, т. е. обладают некоторой шириной (так называемая естественная ширина уровня ). Если Dt — среднее время жизни возбуждённого состояния, то ширина его энергетического уровня (неопределённость энергии состояния) составляет
Др. примером служит альфа-распад радиоактивного ядра: энергетический разброс DЕ испускаемых a-частиц, связан с временем жизни t такого ядра соотношением
Лит.: Гейзенберг В., Шредингер Э., Дирак ГГ., Современная квантовая механика, пер. с англ., М. — Л., 1934; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 3 изд.. М., 1961; Мандельштам Л. И., Тамм И. Е., Соотношение неопределенности энергия — время в нерелятивистской квантовой механике, в кн.: Мандельштам Л. И., Полн. собр. трудов, т. 2, М. — Л., 1947, с. 306; Крылов Н. С., Фок В. А., О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени, «Журнал экспериментальной и теоретической физики», 1947, т. 17, в. 2, с. 93.
О. И. Завьялов.
Неопределённые выражения
Неопределённые выраже'ния в математике, выражения, предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах. Типы Н. в.:
К Н. в. относятся:
причём
причём
где e = 2,71828... — неперово число . Указанные типы Н. в. символически обозначают так:
Следует отметить, что данная функция может являться Н. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение
не является Н. в.). Не всякое Н. в. имеет предел; так, выражение
не стремится ни к какому пределу
Нахождение предела Н. в. (в случае, когда он существует) называют иногда «раскрытием неопределённости», или нахождением «истинного значения» Н. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Н. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраических преобразований.
Так, например, сокращая в выражении
числитель и знаменатель на 1—x, получаем
поэтому
Для вычисления пределов Н. в. типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях
если f (x ) и g (x ) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x, за возможным исключением самой точки x, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что
Иногда
вновь является Н. в. вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Н. в.
[f (x ) = ex + e-x, g (x ) = ex— e-x ]при x ® 0 ничего не даёт. Может также случиться, что
не существует, тогда как
типа 1) или 2) всё же существует; пример:
не существует. Мощным средством нахождения пределов Н. в. является разложение функций в ряды. Например, так как
то
Н. в. видов 3)—7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х ® p/2 Н. в.
вида 4) преобразуется к виду 1):
а последнее Н. в. имеет предел 0; Н. в. вида 3) приводится к Н. в. вида 1) или 2) преобразованием
где
Наконец, если через u (х ) обозначить логарифм Н. в. видов 5), 6) и 7): u (x ) = g (x ) lnf (x ), то u (х ) является Н. в. вида 3), которое, как указано, сводится к Н. в. вида 1) или 2). Так как {f (x )} g (x ) = eu (x ), то, найдя предел u (х ) (если он существует), можно найти и предел данного Н. в. Например, для xx при x ® 0 имеем
