Соч.: Сайланма эсэрлэр, Казан, 1965; в рус. пер. — Стихи, Каз., 1956; Встреча в песне, М., 1960.

  Лит.: Хэким С., «Курай», «Совет эдэбияты», 1946, № 11—12.

Исхо'д, вторая книга Пятикнижия.

Исхо'дные геодези'ческие да'ты, совокупность величин, определяющих положение референц-эллипсоида, принятого для обработки геодезической сети какой-либо страны или группы стран, относительно геоида, т. е. величин, фиксирующих положение референц-эллипсоида в теле Земли. В состав И. г. д. входят геодезические координаты (см. Координаты в геодезии), а именно широта B и долгота L одного из опорных пунктов сети, принятого за исходный, геодезический азимут A направления с исходного пункта на один из смежных пунктов сети и высота x исходного пункта над геоидом. И. г. д. устанавливаются после вывода референц-эллипсоида путём определения астрономических координат (j, l) (см. Географические координаты) исходного пункта и астрономического азимута a указанного выше направления и освобождения их от влияния уклонений отвеса. Геодезические координаты всех остальных пунктов сети и азимуты получают затем путём вычислений на основании результатов геодезических измерений, приведённых к поверхности референц-эллипсоида. Геодезические координаты пунктов астрономо-геодезической сети СССР и некоторых других стран вычисляются на поверхности Красовского эллипсоида. Исходным пунктом геодезической сети СССР служит центр бывшего Круглого зала Пулковской астрономической обсерватории, для которого приняты следующие геодезические координаты: широта B = 59°46¢18¢¢, 55, долгота L₀ = 30°19¢42¢¢,09, высота x положена равной нулю. Вывод указанных И. г. д. СССР выполнили А. А. Изотов и М. С. Молоденский в 1942. Эти И. г. д., как и эллипсоид Красовского, приняты за основу единой государственной системы координат при производстве всех геодезических и картографических работ на территории СССР.

  С начала 60-х гг. 20 в. методы космической геодезии позволили на основе наблюдений искусственных спутников Земли получать параметры земного эллипсоида, представляющего Землю в целом, и развивать единую мировую геодезическую систему координат, связывающую воедино разрозненные астрономо-геодезические сети отдельных материков и стран. Это имеет большое научное и практическое значение для решения проблем геодезии и ряда смежных наук. Несвязанные до этого астрономо-геодезические сети, обработанные ранее при различных И. г. д. и на разных референц-эллипсоидах, могут быть теперь отнесены к единой мировой геодезической системе координат на одном эллипсоиде, наиболее подходящем к Земле как планете в целом, или к единой мировой системе прямоугольных декартовых координат.

  Лит.: Закатов П. С., Курс высшей геодезии, М., 1964; Изотов А. А., Новые исходные геодезические даты СССР, в кн.: Сборник научно-технических и производственных статей по геодезии, картографии, топографии, аэросъёмке и гравиметрии, в. 17, М., 1948; Стандартная Земля. Геодезические параметры Земли на 1966 год. [Сб. ст.], пер. с англ., М., 1969.

  Г. А. Мещеряков.

Исче'рпывания ме'тод, метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.

  Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C₁, C₂, ..., C_n, ... так, что

C_n < A;                                                             (1)

предполагают также известным такое В, что

C_n<В                                                              (2)

и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства

К (A — C_n) < D, К (В — C_n) < D,                         (3)

где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству

А = В                                                                (4)

достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует

Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса — Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = B — А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали

К (В — C_n) >К (В — A) > D,

что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).

  Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C₁, C₂, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,

Архимед геометрически доказывает, что при любом n

Вводя площадь

Архимед получает, что

и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что

Рис. к ст. Исчерпывания метод.

Исчисле'ние, основанный на чётко сформулированных правилах формальный аппарат оперирования со знаками определённого вида, позволяющий дать исчерпывающе точное описание некоторого класса задач, а для некоторых подклассов этого класса (лишь для наиболее простых И., совпадающих с ним) — и алгоритмы решения. Примерами И. могут служить совокупность арифметических правил оперирования с цифрами (т. е. числовыми знаками), «буквенное» И. элементарной алгебры, дифференциальное И., интегральное И., вариационное И. и другие ветви математического анализа и теории функций. Несмотря на раннее происхождение, термин «И.» употреблялся в математике до недавнего времени без строгого общего определения. С развитием математической логики возникла потребность в общей теории И. и в уточнении самого понятия «И.», которое подверглось более последовательной формализации. В большинстве случаев, однако, оказывается достаточным следующее (идущее от Д. Гильберта) представление об И. Рассматривается некоторый (вообще говоря, бесконечный, хотя и, быть может, задаваемый посредством конечного числа символов) алфавит, из элементов которого, именуемых буквами, с помощью четко сформулированных правил образования строятся формулы рассматриваемого И. (называемые также иногда словами, или выражениями). Некоторые из таких («правильно построенных») формул объявляются аксиомами, а из них с помощью правил преобразования (или, иначе, правил вывода) «выводятся» новые формулы, называемые теоремами данного И. Иногда термин «И.» относят лишь к «словарной» («выразительной») части описанного построения, говоря, что присоединение к ней «дедуктивной» части (т. е. добавление к алфавиту и правилам образования аксиом и правил ввода) даёт формальную систему. Впрочем, эти термины часто считают синонимичными (и в качестве синонимов пользуются также терминами «логистическая система», «формализм», «формальная теория» и многими др.). Если такое неинтерпретированное («бессмысленное») И. сопоставить с некоторой интерпретацией (или, как говорят, дополнить чисто синтаксические рассмотрения некоторой семантикой; см. Логическая семантика) то получают формализованный язык. Представление содержательных логических (и логико-математических) теорий в виде формализованных языков есть характерная особенность математической логики (см. также Доказательство).