В математике приходится иметь дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных «несобственных» элементов.

  а) С проективной точки зрения на прямой находится одна «бесконечно удалённая точка». В обычной метрической системе координат этой точке естественно приписать абсциссу ¥. Такое же присоединение к числовой системе одной Б. без знака употребляется в теории функций комплексного переменного. В элементарном анализе при изучении рациональных функций

где Р (х ) и Q (x ) — многочлены, в тех точках, где Q (x ) имеет нуль более высокого порядка, чем Р (х ), естественно положить f (x ) = ¥. Для несобственного элемента ¥ устанавливаются такие правила действий:

  ¥ + а = ¥, если а конечно;

  ¥ + ¥ не имеет смысла;

  ¥ · а = ¥, если а ¹ 0;

  ¥ · 0 не имеет смысла.

  Неравенства с участием ¥ не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше ¥, чем конечное а.

  б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами +¥ и -¥. Тогда можно положить, что -¥ < а < +¥ для любого конечного а, и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для +¥ и -¥ устанавливаются такие правила действий:

  (+¥) + а = +¥, если а ¹ - ¥;

  (-¥) + а = -¥, если а ¹ +¥;

  (+¥) + (-¥) лишено смысла;

  (+¥) ´·а = +¥, если а > 0;

  (+¥) ´ а = - ¥, если а < 0;

  (-¥) ´·а = -¥, если a > 0;

  (-¥) ´ а = +¥, если а < 0;

  (+¥) ´ 0 и (¥) ´ 0 лишены смысла.

  В каждом математическом рассуждении следует отдавать себе отчёт, пользуемся мы в нём настоящей (не расширенной) числовой системой или расширенной, и в каком именно из двух указанных смыслов.

  3) Основной интерес, но и основные трудности математического учения о Б. сосредоточиваются сейчас на вопросе о природе бесконечных множеств математических объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достигнутая ныне полная отчётливость и законченность теории бесконечно больших и бесконечно малых переменных величин заключается лишь в сведении всех трудностей этой теории к вопросу обоснования учения о числе, в которое существенно входит представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что у бесконечно мало, имеет смысл только при указании характера изменения у в зависимости от какого-либо другого переменного х; например, говорят, что у бесконечно мало при х ® а, если при любом e > 0 существует такое d > 0, что из |х - a | < d вытекает |у| < e. В самое это определение уже входит предположение, что функция y = f (x ) определена для бесконечного множества значений х (например, для всех действительных х, достаточно близких к а ). О бесконечных множествах в математике подробнее см. Множеств теория .

  В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» Б. придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математических объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо «образовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все» одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают, исходя из процесса образования его элементов переходом от n к n + 1. В случае континуума действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента — действительного числа — приводит к изучению процесса образования его последовательных приближённых значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуумы), может характеризоваться как Б. лишь «потенциальная». Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, ещё нельзя считать законченным. См. Множеств теория , Логика , Математика .

  А. Н. Колмогоров.

Бесконе'чность в философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная Б., выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий) характер связей явлений; количественная Б., выступающая как неограниченность процессов и явлений (см. Бесконечность в математике).

  Проблема качественной Б. обсуждалась уже в антической философии, в частности в связи с космогонией и проблемами природы мышления. Но особое значение она приобрела в философии нового времени в связи с развитием естествознания и проблемами его логического обоснования (Р. Декарт, Дж. Локк, Г. Лейбниц). Глубокий философский анализ проблемы Б. дал Г. Гегель, различивший истинную (качественную) и «дурную» Б. как безграничное увеличение количества и связавший категорию Б. с характеристикой процессов развития. Эти идеи были материалистически переосмыслены марксизмом, подчеркнувшим диалектическую взаимосвязь Б. и конечного, противоречивую природу Б. Важное значение имело указание связи Б. с категорией всеобщего. Как писал Ф. Энгельс, «... форма всеобщности есть форма внутренней завершённости и тем самым бесконечности; она есть соединение многих конечных вещей в бесконечное» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 548—49).

  Применительно к космологическим проблемам количественная Б. рассматривается обычно как Б. материального мира в пространстве и времени .

  Противоборствующими здесь являются, с одной стороны, религиозная и идеалистическая точка зрения, толкующая Б. как Б. бога, его вневременность или как продукт сознания, а с др. стороны, — точка зрения материализма, рассматривающего Б. как одно из свойств пространства и времени и исследующего её в опоре на результаты математики и космологии. По данным современной космологии, Вселенная (материальный мир, рассматриваемый лишь в аспекте пространственно-временного распределения масс) бесконечна в пространстве и времени, а её пространственные и временные характеристики по отдельности могут быть и конечными, и бесконечными, в зависимости от выбора системы отсчёта.

  В физике Б. рассматривается как Б. «вглубь» в связи с проблемой структуры элементарных частиц .

  Лит.: Философия естествознания, в. 1, М., 1966, с. 28, 191—207; Наан Г. И., Понятие бесконечности в математике, физике и астрономии, М., 1965; его же. Типы бесконечного, в кн.: Эйнштейновский сборник 1967, М., 1967; Зельманов А. Л., О бесконечности материального мира, в кн.: Диалектика в науках о неживой природе, М., 1964.

  И. С. Алексеев.

Бесконе'чный ряд (матем.), см. Ряд .

Бесконта'ктная систе'ма управле'ния электроприво'дом , электромеханическая система автоматического управления, которая не содержит замыкающих и размыкающих контактов в электрических цепях, питающих электропривод. В системах управления электроприводом стремятся избежать замыкания и размыкания электрических цепей контактами, т.к. они снижают надёжность и технико-экономические показатели электроприводов. Электрические контакты изнашиваются, подгорают, иногда привариваются, искрят, создают шум и радиопомехи. Основные достоинства Б. с. у. э. — надёжность, долговечность, снижение пожарной опасности, шумов и радиопомех, повышение быстродействия и снижение затрат труда на обслуживание электроприводов.