Якщо орбіта має форму кола або дуже близька до нього (а це так для п’яти із шести планет, відомих у XVII столітті), темп обертання планети постійний, але напрямок її швидкості весь час змінюється. Утім коли напрямок швидкості тіла змінюється, навіть якщо її значення залишається незмінним, це вже буде рух із прискоренням, а отже, згідно із другим законом Ньютона, має бути сила, яка надає тілу цього прискорення.

Ця сила має назву доцентрової (Fдц), і вона завжди спрямована від рухомої планети до Сонця. Звісно, Ньютон не був би Ньютоном, якби не з’ясував, як обчислити цю силу (я виводжу цю формулу під час лекції). Значення доцентрової сили дорівнює

де υ — швидкість руху планети. Але ця швидкість дорівнює окружності орбіти 2πr, поділеній на час T, за який планета робить пов­ний оберт навколо Сонця. Отже, ми можемо записати формулу так:

Звідки береться ця сила? Яке її походження? Ньютон зрозумів, що це має бути гравітаційне притягання Сонця. А отже, дві сили у наведених вище формулах — це одна й та сама сила; вони рівні:

Якщо ще трохи погратися із цією формулою, переставивши змінні (для вас це нагода освіжити шкільні знання з алгебри), ми отримаємо масу Сонця:

Зверніть увагу, що у формулі (5) уже немає маси планети (m2). Її вже можна не розглядати. Нам потрібна тільки середня відстань від планети до Сонця та період її обертання T. Хіба вас це не дивує? Урешті-решт, m2 є у формулах (1) і (2). Але наявність маси планети в обох формулах якраз і є причиною того, що коли ми зрівнюємо Fтяж та Fдц, змінна m2 виключається. У цьому вся краса цього методу, і цим ми завдячуємо серу Ньютону.

Із формули (5) випливає, що співвідношення r3/T2 однакове для всіх планет. Попри те що вони перебувають на зовсім різній відстані від Сонця та мають цілком різні періоди обертання, значення r3/T2 для всіх однакове. Це дивовижне відкриття зробив німецький астроном і математик Йоганнес Кеплер ще в 1619 році, задовго до Ньютона. Але ніхто не міг бодай якось пояснити, чому це співвідношення (куба радіуса до квадрата періоду обертання) постійне. Лише геніальний Ньютон через 68 років показав, що це випливає з його законів.

Таким чином, якщо нам відома відстань від будь-якої планети до Сонця (r), період обертання планети (T) і гравітаційна стала (G), ми можемо за допомогою формули (5) обчислити масу Сонця (m1).

Періоди обертання планет з високою точністю були відомі задовго до XVII століття. Відстані від планет до Сонця також було давно визначено з високою точністю, але тільки у відносному вимірі. Інакше кажучи, астрономи знали, що середня відстань від Венери до Сонця становить 72,4 відсотка відстані від Землі до Сонця, а Юпітер перебуває у 5,2 раза далі від Сонця, ніж Земля. Проте абсолютні значення цих відстаней — це вже зовсім інша історія. У XVI столітті, за часів великого данського астронома Тихо Браге, вважалося, що відстань від Землі до Сонця у 20 разів менша, ніж насправді (це приблизно 150 мільйонів кілометрів). На початку XVIІ століття Кеплер отримав точніший результат, але він усе одно був у сім разів менший за реальну відстань.

Як видно із формули (5), маса Сонця пропорційна кубу його відстані (до планети), тому якщо відстань r буде в сім разів менша за реальну, маса Сонця буде менша за фактичну в 73, тобто у 343 рази — не надто цінний результат.

Поступ стався в 1672 році, коли італійський учений Джованні Кассіні виміряв відстань від Землі до Сонця із точністю приблизно 7 відсотків (для тих часів вражаючий результат), а отже, для r3 похибка була лише майже 22 відсотки. Похибка для G становила, очевидно, мінімум 30 відсотків. Тому припускаю, що на кінець XVIІ століття маса Сонця могла бути визначена з точністю не менше ніж 50 відсотків.

Оскільки відносні відстані від Сонця до планет були відомі досить точно, знаючи абсолютну відстань від Сонця до Землі із точністю до 7 відсотків, у кінці XVIІ століття можна було обчислити абсолютні відстані від Сонця до решти п’яти відомих планет із тією самою точністю.

За допомогою описаного вище способу обчислення маси Сонця можна також визначити масу Юпітера, Сатурна і Землі. Було відомо, що всі ці планети мають супутники. У 1610 році Галілео Галілей відкрив чотири супутники Юпітера, які зараз називають Галілеє­вими супутниками. Якщо m1 — маса Юпітера, а m2 — маса одного з його супутників, ми можемо обчислити масу Юпітера за допомогою формули (5), так само, як і масу Сонця, тільки r у цьому випадку — відстань між Юпітером і його супутником, а T — період обертання цього супутника навколо Юпітера. Чотири Галілеєві супутники (загалом їх у Юпітера 63!) мають періоди обертання 1,77 дня, 3,55 дня, 7,15 дня і 16,69 дня.

Із часом відстані та гравітаційну сталу G виміряли значно точніше. На початок ХІХ століття похибка для значення G становила приблизно 1 відсоток. Похибка для прийнятого зараз значення становить майже 0,01 відсотка.

Розгляньмо конкретний приклад. За допомогою формули (5) обчислимо разом масу Землі (m1), скориставшись орбітою Місяця (маса якого m2). Щоб отримати правильний результат, відстань r потрібно перевести в метри, а період T — у секунди. Тоді якщо ми візьмемо значення G 6,673 · 10−11, то одержимо масу в кілограмах.

Середня відстань до Місяця (r) дорівнює 3,8440 · 108 метрів (384 400 кілометрів). Період його обертання (T) становить 2,3606 · 106 секунд (27,32 дня). Якщо підставити ці числа у формулу (5), отримаємо результат 6,030 · 1024 кілограмів. Найточніше на сьогодні значення маси Землі приблизно дорівнює 5,974 · 1024 кілограмів, що лише на 1 відсоток менше за те, яке я обчислив. Звідки різниця? По-перше, формула, якою ми скористалися, виходить із того, що орбіта Місяця має форму кола, тоді як насправді вона видовжена, або еліптична. У результаті мінімальна відстань до Місяця становить приблизно 363 000 кілометрів, максимальна — майже 406 000 кілометрів. Звісно, закони Ньютона ­можна спокійно застосовувати і для еліптичних орбіт, але від тієї математики у вас може закипіти мозок. Можливо, це вже сталося!

Є ще одна причина, чому наші обчислення дали не зовсім точний результат. Ми припустили, що Місяць обертається навколо Землі по колу і що центр цього кола збігається із центром Землі. А отже, у рівностях (1) і (3) ми прийняли за r відстань між Землею та Місяцем. Це справедливо для рівності (1), проте, як ішлося в розділі 13, як Місяць, так і Земля обертаються навколо спільного центра мас системи Місяць‒Земля, розташованого приблизно на 1600 кілометрів нижче земної поверхні. Тому значення r у рівності (3) трохи менше, ніж у рівності (1).

Живучи на Землі, ми можемо обчислити масу своєї планети іншими способами. Один з них — виміряти прискорення вільного падіння біля її поверхні. Будь-яке тіло з довільною масою m, якщо відпустити його з висоти, падатиме із прискоренням g, яке приблизно дорівнює 9,82 метра на секунду у квадраті23. Середній радіус Землі — майже 6,371 · 106 метра (6371 кілометр).

А тепер повернімося до формули (1). Оскільки F = ma (за другим законом Ньютона), тоді

де r — радіус Землі. Знаючи, що G = 6,673 · 10−11, g = 9,82 метра на секунду у квадраті, а r = 6,371 · 106 метрів, ми можемо обчислити mЗемлі в кілограмах (спробуйте самі!). Якщо трохи спростити рівність (6), отримаємо: