Для простейшего счета все числа равноценны. Подступая к божественному знанию, мы видим, что среди них есть особенные, имеющие собственные «задачи». Но в иных измерениях натуральный ряд цифр – сложен, а фундаментальные иррациональности просты и составляют целый класс прозрачных истин.

Шпенглер полагал, что в архитектуре древних греков и готических соборов явлена евклидова геометрия. Но это ошибка. Греки как раз заложили основу поправок к геометрии с учетом зрительных искажений. Они не строили фундаменты храмов по линейке, поскольку тогда взгляд со стороны делал бы их искривленными. Парфенон вобрал в себя множество подобных архитектурных уловок. Простейшая геометрия для архитектора – только самый примитивный уровень его искусства, в котором есть закономерности не только внешних форм, но и внутреннего содержания, позволяющего возводить сооружения, существующие веками.

Пифагор, – пишет Шпенглер, – изрек решающую формулу: число было для него межевым знаком ставшего. А вот Евклид, завершивший в стереометрии античную математику в 3 в. до н. э., «говоря о треугольнике, с глубочайшей необходимостью имеет в виду ограниченную поверхность тела, но никогда – систему трех пересекающихся линий или группу трех точек в трехмерном пространстве. Он характеризует линию как „длину без ширины“. В наших устах эта дефиниция была бы жалкой. В пределах античной математики она превосходна». Но что же здесь жалкого? Длина без ширины – самое короткое определение, самый компактный алгоритм для понимания. Никакого даже сравнительно компактного определения для понятия «кривая» современная математика не знает. Она занимается классами кривых, каждый раз измышляя свое – весьма нетривиальное – определение.

Шпенглер в противовес мнению Канта считал, что «западное» число «изошло не из времени, как априорной формы созерцания, но в качестве порядка однородных единиц является чем-то специфически пространственным». «Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но о размежеванных для телесного глаза и осязаемых единицах. Поэтому античность – это следует необходимым образом – знает только „естественные“ (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и прочих систем играют ничем не примечательную роль».

Получается, что представление об иррациональных числах и всяческих «не совсем числах» было недосягаемо для греческого ума. Евклид говорил, что несоизмеримые отрезки ведут себя «не как числа». Простой счет и простое измерение отрезков не входят в понимание сущности числа и зыбкости самого измерения, как только оно выходит в плоскость и разграничивает и размечает пространство.

Мы оспорим этот тезис. Действительно, иррациональные числа – это «не числа». Ими невозможно оперировать в общепринятой записи. Они могут записываться как два числа и связывающий их оператор, как число и оператор, порождающий последовательность чисел, в пределе приближающихся к иррациональному «числу». Поскольку исчисление иррациональности имеет смысл только до какого-то разумного предела, то упрекать греков в том, что они этого не делали – нелепо. Операциональное представление иррациональности также гораздо удобнее, если иррациональности при вычислениях «съедают» друг друга.

Трансцендентные числа не получили разрешения, подобно тому, как гипотенуза обнаружила свою сущность через дополнительное измерение в теореме Пифагора. Число «пи» не вписывается в геометрию: циркуль и линейка оказываются принципиально разными инструментами, применимыми для разных измерений, не сводимых одно к другому. Трансцендентные числа, не имеют основы в алгебраических уравнениях. Они следуют правилу: «Кривое не может сделаться прямым» (Экклесиаст). Экспонента – аналогичная «неправильность», заменяющая всюду возникающий из какого-то иного мира бесконечный ряд, сумма которого не получает счетного значения. И подобными «иномерными» объектами полны физико-математические теории. В каких-то иных измерениях они должны быть «единицами», реперами, от которых идет простейший счет.

Необычные постоянные возникают в математике совершенно неожиданно, и представляют собой скрытую конструкцию Вселенной, которая пока не дана нам в ощущении – есть только намек в математической модели. Одна из таких моделей связана с популярным, и широко вошедшим в гуманитарные науки в конце XX века термином «бифуркации».

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций – это отображение x_n+1 = r x_n (1 – x_n), которое может моделировать множество процессов (численность популяции животных, фибрилляцию сердца и так далее). В зависимости от значения параметра r может произойти бифуркация, при которой предельный цикл (достаточно большие n) удваивает свой период. При достаточно больших n значения r(n) по геометрической прогрессии сходятся к фиксированному значению а_∞, причем показатель прогрессии оказывается общим для широкого класса функций (функции с одним максимумом) x_n+1 = f(xn). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума и равен 4,669… почти точно 4,67. Вторая константа Фейгенбаума определяет соотношение ширины ветвей на диаграмме – 2,50… почти точно 2,5. Являются ли эти числа трансцендентными, пока неизвестно.

Трудно оторваться от загадочной картинки, которая возникает из столь простой последовательности. Образ бифуркации в данном случае демонстрирует переход от числа к имени (термину) – своего рода математическому чуду, заимствованному в других областях знания. Эта картинка также иллюстрирует переход порядка в хаос, который может быть обращен вспять: из хаоса может родиться порядок. Из математических моделей сложных колебаний возникает целый терминологический пласт, который позволяет описывать органические процессы в самых разных областях знания. Например, мы можем утверждать, что в «темных веках» точки бифуркации уже все пройдены, и мы находимся в стадии, когда хаотические компоненты бытия решающим образом преобладают над упорядоченными. Хаотизированное сознание не может видеть будущего. Но для информированного оптимиста понятно, что хаос сменится порядком, и знаки будущего при желании можно отыскать уже сейчас.

На практике трансцендентными числами можно пользоваться, считая их исчислимыми, но только до необходимого предела точности. Потому что в природе не существует ни идеальной прямой, ни идеальной окружности. Пока компьютер считает медленно, с трансцендентными числами удобно оперировать только как с символами. Но как только скорость счета оказывается достаточной, проще сразу производить «пиксельный» подсчет, пропуская символическую запись.

Особый тип трансцендентности – «то, чего не может быть» – также был приобщен к математическим методам. Комплексные числа, применение которых толком не обосновано, оказались очень удобным инструментом для решения множества математических задач. Комплексное число представлено двумя значениями – своими действительной и мнимой частью. То есть, точкой на плоскости. Простейшие рекуррентные последовательности порождают на этой плоскости удивительные фигуры, которые превращают теорию комплексных чисел из технической уловки в целый мир образов.

Наиболее популярная последовательность z_n+1 = z_n² + C, z₀= 0 формирует на комплексной плоскости множество Мандельброта с удивительными свойствами самоподобия. Последнее трудно приять рассудком, который должен смириться с тем, что бесконечно тонкой линией можно заполнить полосу на плоскости [4]. (Что, для «пиксельного» подхода не составляет проблемы – там линия всегда имеет толщину).