Определенные правила раскраски множества позволяют создавать фантастические картины, поиск которых стал распространенным для математиков увлечением. Но это мир не только картинок, но и целое направление в математике со своими теоремами.

Если кому-то захочется посетить иные миры и запечатлеть их в зримых образах, то для этого не требуется космолета и многих лет путешествия в пространстве – достаточно заглянуть в множество Мандельброта. Трудно придумать что-то более наглядное для демонстрации вихрей становления. Видимо, несложно внести в формулу параметр времени, чтобы самоподобные вихри пришли в движение.

Может ли современный человек оценить самоподобные миры? Нет, для него это только курьез, привлекающий внимание своей наглядностью. Что-то вроде компьютерной графики – усложненной версии анимированных картинок – мультипликации. Между тем, именно в мире математики наглядно отражено то, что должно быть в мировоззрении культурного человека: иррациональное и трансцендентное. Самоподобию же еще предстоит обосновать философский концепт.

Широко известно высказывание выдающегося математика Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа, а все остальное это работа человека». Нецелые числа – это, в хорошем случае – число + оператор. Или два числа + оператор (например, операция деления двух целых чисел). Если мир дискретен, то, возможно, Бог создал только «0» и «1». А человеку дал сознание, чтобы он сначала сам поработал несколько тысячелетий калькулятором, а потом придумал компьютер. Который всегда точен: что считать и как считать ему задает человек. Если же человек не имеет точных данных и задает какую-то погрешность, то компьютер точно ее учитывает. Или указывает на неустойчивые решения, в которых с течением времени погрешность нарастает. Наконец, весьма «точно» расчет может запутать траекторию или фазовую диаграмму – до того, что приходится применять понятие «странного аттрактора».

Можно считать, что числовой счет всегда точен, а вот измерение всегда неточно. В измерении всегда есть погрешность. В том числе, мы не можем утверждать, что сумма углов треугольника точно равна 180 градусам. Поэтому и не можем сказать, евклидово ли наше пространство. Может быть, «немножко» неевклидово, но только здесь – где мы измеряем. А в другой части галактики это «немножко» окажется существенным. Или для микромира «немножко» создает большие неожиданности для исследователя. Ведь «много» или «мало» – это лишь наша оценка. То, что в одних ситуациях «мало», может быть «много» в других. Малое через время может стать большим или даже бесконечно большим.

Измеримость и счет возможны там, где есть пространство и есть время. То есть, вещные бытие и процесс. В пустом пространстве нет ни того, ни другого. Объект размером во Вселенную для нас непостижим в понятиях пространства и времени. Мы бытийствуем в нем, а не он в нас. Мы для него – пространство и время. Можно представить себе точку в пространстве, посещение которой изменит всю Вселенную – «место Бога» или «место Судьбы». Почему бы и нет?

Фундаментальный вопрос: за всяким ли понятием (например, в математике) стоит нечто исчисляемое? Всё ли можно исчислить? Понятно, что есть всякие явления, которые никак не превратить в какие-то алгоритмы вычисления. Есть невыразимое – то, что индивидуально, что я не могу передать другому. Могу попытаться, но получится скверно. Или единичное. Его считать бессмысленно. И даже невозможно снабдить понятием. Также и сложное: бывает, что символизация в числах и алгоритмах не проще объекта описания. Тогда его проще предъявить, чем описывать. Вселенную не обсчитать и не объяснить, ее можно только разглядывать.

Путь науки: от понятий к числам, от чисел – только к целым и далее к простым числам, затем только «0» и «1». И снова к тому, что неисчислимо. Это определенный цикл, который в завершении может означать переход на новый уровень понимания, а может указывать на деградацию.

При всей значимости числа как отражения глубинной структуры мира-природы, в нем существует то, что не описывается числом. Даже если включить несчетные континуальные объекта, заменив их пиксельными образами. Многое невозможно выразить не только в цифрах, но и в словах. Редкие явления могут быть зафиксированы в виде фактов, но некоторые из них не могут быть объяснены словами – сложные объекты требуют передачи образа, а не словесного очерка. Образный мир, стоящий за словами, куда шире, чем то, что может быть выражено этими словами. Поэтому до всякого познания существует восприятие реальности. До времени оно может быть запечатлено, но не распознано.

Всякому математическому рационализму утирает нос теорема Геделя, объявившая о неполноте любой теории, включающей в себя арифметику натуральных чисел. В ней всегда найдутся утверждения, которые нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть.

Число гипнотизирует кого угодно, только не современного математика, который знает качественный анализ и оперирует с объектами, далекими от чисел. В них царят совершенно не переводимые на язык чисел «геометрии», а топология не знает «расстояний». Но именно отсюда понятийный аппарат перетекает в естественные и даже общественные науки – в особенности это касается теории катастроф.

Фрактальность знания отражает его более глубокое понимание. Все напоминает все, но отличается собственным гештальтом сообразно масштабам и координатам. Мы как будто идем по фрактальной поверхности, которая в каждом своем фрагменте содержит уменьшенную копию более крупного фрагмента, а тот маленький фрагмент – тоже копия, и так далее. Но пристальнее рассматривая уменьшенный фрагмент, мы видим, что он – нечто совсем иное – иной мир, и повторяет больший масштаб лишь «вчерне».

Древние математики считали, что их наука проникает в сущность вещей. Но эта сущность была абстрактной, к ней испытывали интерес те, кто имел возможность быть философом. Отвлеченность философии и отвлеченность геометрии от обычной жизни предопределяли статус философа наравне со жрецом. Его жизнь и интересы – не от мира сего. Не мера жизни «теперь и здесь», а иная жизнь – «не здесь и не теперь». Лишь немногим более столетия наших времен мы живем в мире, на который обрушилась математика – прежде всего, своим магическим числом, заклятым компьютерными технологиями.

Апейрон Анаксимандра – неустойчивое состояние вещества, к которому по этой причине неприложимо число. Размытость форм облака или неизмеримость прибрежной полосы – вполне внятные образы для современной науки, которая в этом случае находит для числа другое – неарифметическое, неевклидово применение.

Получив достаточно глубокие для своего времени знания в области математики, Шпенглер в дальнейшем стал энциклопедистом-историком и культурологом, и построенные им философские концепции лишь в незначительной мере учитывали существование математики. Преподавание математики в гимназии, которым философ немало лет зарабатывал себе на жизнь, не способствовало углублению в математические доктрины. По этой причине Шпенглер предпочел считать математические формализмы образцом статики – ставшим, а не становящимся. Между тем, математика, видимо, единственная наука, которая способна символизировать становление – обозначать «то, чего не может быть». В том числе – немыслимые для обыденного сознания геометрии, размерности, несуществующие множества, мнимые величины, неустойчивые решения и так далее.

Шпенглер слишком низко ставил математику, досаждавшую ему обязанностью постоянно отвлекаться от своих размышлений: «Математика, безотносительно к тому, пользуется ли она в качестве пособий наглядными образами и представлениями или нет, занята совершенно абстрагированными от жизни, времени и судьбы, чисто рассудочными системами, мирами форм чистых чисел, правильность – не фактичность – которых носит безвременный характер и подчинена каузальной логике, подобно всему только познанному и непережитому».