то интегрирование есть определение первоначальной функциональной зависимости y=F(x) по уравнению производной y'=f(x) или

где с — константа интегрирования.

Таким образом, если требуется, например, найти уравнение, определяющее скорость движения тела в зависимости от времени, зная как изменяется по ходу времени пройденный телом путь (именно такого рода данные, а следовательно, и расчетное уравнение можно получить опытным путем, давая телу свободно падать под действием силы тяжести), то необходимо применить дифференциальное исчисление. Если же, наоборот, уравнение, связывающее скорость движения тела и время, известно и нужно определить зависимость пройденного телом пути от времени, то необходимо воспользоваться интегральным исчислением.

Следует заметить, что Ньютон и Лейбниц, разрабатывая дифференциальное и интегральное исчисление, использовали различный подход к проблеме; подход Ньютона можно было бы назвать физическим (у него главную роль играло понятие скорости), Лейбниц же подходил к проблеме как геометр (рассматривая задачу о проведении касательной к данной точке кривой). Естественно, что они пользовались различными символами и терминологией. В дальнейшем получили распространение символы и терминология Лейбница. Они используются в математике и в настоящее время.

Ньютону принадлежит решение важной практической задачи — преобразования некоторых функций, в том числе логарифмической, показательной (аргумент — показатель степени), некоторых тригонометрических, в бесконечные степенные ряды (так называемое разложение в ряды).

Имя Ньютона носит формула (бином Ньютона), дающая возможность представить двучлен в некоторой степени (а + b)ⁿ в виде суммы степеней слагаемых. Например, в простейшем случае для n = 2 получается хорошо известное выражение (а+b)² = а²+2аb+b². Собственно говоря, формула, очень близкая по своему виду к биному Ньютона, была известна задолго до Ньютона. Заслуга Ньютона заключается в том, что он усовершенствовал ее, сделав применимой не только для целых, положительных значений показателя степени n, как это было раньше, но также и для дробного и отрицательного показателя.

Известны также работы Ньютона в области алгебры.(в частности, данное им определение числа как отношения длин отрезков — произвольного и избранного за единицу; это определение имело немалое значение для развития представлений о действительном числе), геометрии (как аналитической, так и проективной), интерполяции (т. е. отыскания промежуточных значений какой-либо величины, заданной не уравнением, а отдельными численными значениями, в частности интерполяционная формула Ньютона, используемая и в настоящее время), вариационного исчисления (раздел математики, предметом исследования которого является определение наибольших и наименьших значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций) и в других областях математики.

К сказанному хотелось бы добавить немного о методе интерполяции, пользе, получаемой от его применения в науке и технике. Воспользуемся примером. Допустим, что требуется найти какое-либо свойство и (теплоемкость, вязкость, теплопроводность, электропроводность) определенного вещества, например газа. Численные значения свойств вещества — величины переменные, зависящие от состояния вещества, в свою очередь определяемого по крайней мере двумя параметрами состояния (х, у), например температурой и давлением. На математическом языке это может быть представлено так: u = φ(х, у), т. е. свойство вещества есть некоторая функция состояния вещества (параметров состояния). К сожалению, эта функция достаточно точно неизвестна (за исключением редких частных случаев). Поэтому в большинстве случаев приходится прибегать к опытному определению численных значений и для различных х и у, в результате чего можно получить экспериментальные точки, подобные представленным на рис. 5. Здесь по оси ординат отложены значения и, по оси абсцисс — значения х; различные группы точек, как это показано на рис. 5 отвечают разным значениям у: у_1,  у₂, у₃… Проведенная для у₁ кривая — результат интерполяции. По ней и аналогичным кривым для у₂, у₃, и т. д. может быть составлена таблица значений и для круглых величин х и у.

Рис. 5. Интерполяция опытных данных

Как уже сказано, Ньютон много сделал для развития метода интерполяции. Существует также метод экстраполяции (лат. extra — сверх, вне и polio — приглаживать), отличие которого от интерполяции заключается в том, что с его помощью могут быть получены данные, лежащие за пределами исходных (отрезок кривой ab на рис. 5). Разумеется, метод экстраполяции менее надежен и точен, чем метод интерполяции.

Работы Ньютона охватывают очень большое число направлений физики, математики, химии. О многих из этих работ на страницах этой книги не было возможности даже упомянуть. Впрочем, такая цель и не ставилась.

В заключение приводим две выдержки из книг X. Юкавы и Дж. Бернала. X. Юкава пишет: «Обдумывание днем физической картины мира занимались многие ученые мира после Ньютона: как для него, так и для них это было могучим источником интереса к нашей науке. Стремление утвердить новый взгляд на мир, создать новый образ мироздания — прекрасно, и мне кажется, что это компетенция физиков, а не философов.

Разумеется, Ньютон многое отсек у реального мира, о котором размышляют физики. Представителям других специальностей абстрактный характер механики Ньютона кажется крупным недостатком. Но это критика слабых духом, звучащая на любой стадии развития науки. Конечно, Ньютон абстрагируется, но он оставляет самое существенное и создает единую картину мира. Ему принадлежит, по крайней мере, построение теории Солнечной системы. Это один из миров. Остается еще мир неподвижных звезд (наша Галактика) и множество других миров. В них он не успел разобраться, но Солнечная система прекрасно воссоздана в рамках его механики»[136].

Дж. Бернал пишет по поводу труда Ньютона «Математические начала натуральной философии»: «Галлею потребовалось, по-видимому, использовать всю силу убеждения, на которую он был способен, чтобы заставить Ньютона в течение двух лет, с 1685 по 1686 г., воплотить найденное им решение проблемы движения планет в его труде «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica». Номинально книга была издана Лондонским королевским обществом, но Общество не имело средств, и Галлей был вынужден уплатить за издание этой книги из собственного кармана.

По убедительности аргументации, подкрепленной физическими доказательствами, книга эта не имеет себе равных во всей истории науки. В математическом отношении ее можно сравнить только с «Элементами» Евклида, а по глубине физического анализа и влиянию на идеи того времени — только с «Происхождением видов» Дарвина. Она сразу же стала библией новой науки, не столько как благоговейно чтимый источник догмы, хотя известная опасность этого и существовала, особенно в Англии, сколько как источник дальнейшего расширения изложенных в ней методов.

В своих «Началах…» Ньютон не только установил законы движения планет. Его главной целью, несомненно, было наглядно показать, каким образом всемирное тяготение может поддерживать систему мира. Однако Ньютон хотел сделать это не старым философским путем, а с помощью новой, количественной физики. При этом он должен был выполнить две другие задачи: прежде всего разрушить прежние философские концепции, старые и новые, и, во-вторых, утвердить свою собственную концепцию не только как истинную, но и как самый точный способ объяснения явлений»[137].