Если буквы рассматривать как геометрические фигуры, то мы сразу же вступаем в область необычных геометрических задач и головоломок. Мы увидим, каким образом эти задачи связаны с существованием двух важных разновидностей операции симметрии: симметрии относительно поворота на 180° и зеркальной симметрии. Мы обнаружим, что некоторые слова и даже целые предложения выдерживают поворот на 180°, и некоторые цифры на индикаторе микрокалькуляторов переходят в буквы латинского алфавита.

Буквы не обязательно считать жесткими и нерастяжимыми. Если мы будем рассматривать их не как геометрические фигуры, сохраняющие форму при поворотах и отражениях, а как топологические фигуры, которые можно изгибать, сжимать, растягивать, как резиновые жгуты, то перед нами откроется еще одна обширная область занимательных задач, с решением которых вам также предстоит познакомиться. Именно в этих задачах вы увидите «за работой» простейшие топологические понятия.

Наконец, вам предстоит встреча с задачами, связанными с важными понятиями математической логики. Простейшая задача о высказывания, противоположном высказыванию «не в», познакомит вас со свойствами отрицания и правилами обращения с отрицательными величинами в алгебре. Многие из наших шуточных задач становятся понятными, если вы четко осознаете, что говорить о словах и предложениях живого языка можно, лишь построив язык следующего, более высокого уровня, который логики называют метаязыком.

Мы умышленно стремились сделать заключительную главу нашей книги самой легкой и занимательной. Может быть, вас удивляет, почему для словесных забав и игр вообще, нашлось место в книге по занимательной математике? По существу мы уже ответили на ваш недоуменный вопрос. Дело, разумеется, не в том, что математики любят играть в слова или что лингвистике присущи определенные комбинаторные аспекты. Мы хотели лишь показать, что даже игра в слова может приоткрыть перед вами неожиданные и важные аспекты серьезной математики.

Перед вами знаменитый математик проф. Сэм О. Слог.

Проф. Слог ведущий и автор популярной телевизионной программы «Состязание любителей слова». Гости этой передачи, которым удается правильно ответить на вопросы проф. Слога, получают ценные призы.

Проф. Слог. Игра в слова имеет много общего с математикой. Символами служат буквы и слова, а правила грамматики позволяют отличать допустимые комбинации от недопустимых.

Проф. Слог. Позвольте привести несколько примеров. Какая надпись по своему значению противоположна известной надписи «Не входить»?

Проф. Слог. Какое слово из 11 букв все выпускники Йельского университета пишут неправильно?

Проф. Слог. Вы, конечно, успешно справились с этими двумя заданиями. Надписи «Не входить» противоположна по значению надпись «Входить».

Слово «неправильно» все выпускники Йельского университета так и пишут: неправильно. А сейчас позвольте представить вам нашего первого гостя.

Попросите кого-нибудь назвать действие, противоположное действию «не входить», и вы, как правило, услышите в ответ: «Выходить». Между тем действию «не входить» противоположно его отрицание «не не входить», то есть «входить». Два минуса дают плюс и в арифметике, и в формальной логике. Приведем несколько примеров, подтверждающих это правило.

1. x = (7 − 3) − [(−4 + 1)]³.

2. Заголовок из газеты «Нью-Йорк тайме» от б мая 1965 г.: «Албания выступает против отмены закона о запрете контроля над рождаемостью».

3. Известный специалист по математической логике А. Н. Уайтхед однажды поблагодарил докладчика за то, что тот «изложил весьма темный предмет не без ясности».

4. Молодой человек получает письмо от своей подруги: «Должна сказать, что мои слова о том, что я всерьез подумываю о том, чтобы передумать, не следует принимать всерьез. Я и не думаю передумывать».

5. Преподаватель математики: «Не могу не заметить, что мне так и не удалось объяснить вам смысл отрицания, поэтому я не стану утомлять вас повторением».

Студент: «Я понял все, что вы сказали, и признателен вам за вашу готовность перейти к новому материалу».

6. Иногда в нарушение правила двойное отрицание употребляется для усиления отрицания. Вот несколько примеров:

Не вздумайте не сказать мне, что за сплетни она распускает.

Никому не запрещается не прибегать к двойным отрицаниям.

Небезупречное поведение.

7. Профессор логики упомянул во время лекции о том, что, насколько ему известно, ни в одном естественном языке два утверждения никогда не означают отрицание. Из задних рядов раздается саркастический голос: «Ну, ну!»

Вопрос о слове «неправильно» ставит людей в тупик потому, что они воспринимают это слово как наречие, относящееся к глаголу «пишут», а не как само слово «неправильно». В современной семантике любой вопрос о слове или предложении относится к так называемому «метаязыку», в то время как слово и предложение принадлежат к предметному, или объектному, языку. Чтобы отличить эти два языка, утверждения и слова объектного языка принято заключать в кавычки. Например, кавычки позволяют избавиться от неоднозначности (или по крайней мере уменьшить ее) в вопросе, заданном проф. Слогом: «Какое слово из 11 букв все выпускники Йельского университета пишут «неправильно»? При смешении двух уровней языка нередко возникает путаница.

Приведем несколько примеров.

Как — вы — думаете была кличка этой лошади.

Я, Ли, китайский математик.

Можете ли вы объяснить, что означает следующая фраза: «То то означает совсем не то, что я имею в виду».

Проф. Слог пригласил мистера Ши Ли Хоя на передачу, как только увидел в телефонном справочнике номер его телефона. Заметили ли вы что-нибудь необычное в английском написании имени и фамилии мистера Ши Ли Хоя и номере его телефона?

Если перевернуть рисунок «вверх ногами», то английское написание имени и фамилии мистера Ши Ли Хоя переходит в номер его телефона и наоборот.

Цифры на индикаторе микрокалькулятора, если их считывать в перевернутом виде, очень напоминают по своим очертаниям несколько стилизованные буквы латинского алфавита. Именно на этом основаны шуточные задачи, решаемые с помощью микрокалькуляторов и снискавшие в последнее время широкую известность.

Первая из этих шуток, с которой, по-видимому, и началось увлечение подобными задачами, облечена в форму рассказа об одном эпизоде арабо-израильской войны. Мы приводим вариант этой задачи, предложенной автором многотомного «Искусства программирования для ЭВМ» Дональда Э. Кнута: 337 арабов и 337 израильтян сражаются на участке пустыни, имеющем форму квадрата со стороной 8424 м. Кто выиграет от этого? Чтобы ответить на вопрос, возведем в квадрат числа 337 и 8424 и, просуммировав их, получим: 71077345. На индикаторе микрокалькулятора это число, если считывать его в перевернутом виде, напоминает название известной нефтяной компании SHELL OIL.

О числах, переходящих в слова при считывании их в перевернутом виде с индикатора микрокалькулятора, написаны целые книги. В следующей табличке показано, какую строчную или прописную букву латинского алфавита напоминает, если ее рассматривать в перевернутом виде, каждая из 10 цифр: