Два других типа рассуждений с точки зрения истинности вывода куда менее ясны. Рассуждения от частного к общему отражают наш путь постижения окружающего мира и нас самих в нем. Общие утверждения возникают на пути обобщения частных, отражающих совокупность наших единичных опытных фактов. Такие рассуждения называются индуктивными. Истинность общего результата таких рассуждений для людей становится очевидной, если частных утверждений, подтверждающих этот результат, довольно много, а опровергающих утверждений нет. Еще более сложная ситуация складывается при переходе от одних частных утверждений к другим частным, как-то связанным с исходными. Здесь человеческая интуиция в оценке истинности результата почти бессильна. Такие рассуждения, которые мы будем в этой книге называть правдоподобными, лежат где-то на границе между допустимыми и недопустимыми формами человеческих рассуждений

Исходя из этих соображений (не по форме, конечно, а по существу) Аристотель выбрал для формализации именно дедуктивные рассуждения. Хотя и в область индуктивных рассуждений Аристотель внес определенный вклад, но он, конечно, не может сравниться с тем, что удалось сделать этому философу в области дедуктивных рассуждений.

Еще раз зафиксируем два положения, связанные с работой Аристотеля в интересующей нас области: 1) исходные посылки рассуждения являются истинными; 2) правильно применяемые приемы перехода от посылок к другим вытекающим из них утверждениям и из посылок и ранее полученных утверждений к новым вытекающим из них утверждениям должны сохранять истинность всех получаемых утверждений, т.е. истинные посылки порождают только истинные следствия.

Именно это свойство силлогистики Аристотеля, как со временем стала называться созданная им система, позволила средневековому философу и богослову Фоме Аквинату использовать теорию Аристотеля для обоснования всей христианской теологии. Сделал это он с помощью следующего приема. Поскольку по учению христианской церкви определенная часть сочинений, составляющая книги Ветхого и Нового Заветов, является боговдохновенной, то все утверждения, содержащиеся в них, являются абсолютно истинными. Их истинность не меняется. А значит, они образуют посылочный базис логической системы, в которой невозможны противоречия. Из них можно с помощью силлогистики Аристотеля порождать новые утверждения, которые также будут истинны. И если многие из этих утверждений человеческий рассудок отказывается принимать, сомневается в их допустимости, то, следовательно, рассудок земного человека слаб и не дорос еще до истинных откровений. Ведь еще на заре распространения христианского учения один из его апологетов Тер…[3]

…их больше двух. Для получения заключения в сорите нужен многошаговый процесс, а для проверки истинности заключения не два шага (как на рис. 11–13), а столько шагов, сколько посылок имеется в сорите.

На каждом шаге при поиске заключения в сорите выбирается пара посылок, которые могут образовать одну из четырех силлогистических фигур (верхних частей схем на рис. 10). Если такая пара найдена, то она порождает по законам силлогистики заключение. Если к этому моменту еще не все множество исходных посылок использовано, то использованные на данном шаге посылки вычеркиваются из списка посылок, а вместо них добавляется найденное промежуточное заключение. Новое множество посылок рассматривается как исходное для следующего шага вывода.

Рассмотрим два примера получения заключения в соритах. Первый сорит содержит три посылки:

Малые дети неразумны.

Тот, кто может укрощать крокодилов, заслуживает уважения.

Неразумные люди не заслуживают уважения.

Чтобы начать процесс вывода, необходимо сначала привести все посылки к нормальной форме, принятой в схемах базовых высказываний в силлогистике. После этого преобразования посылки сорита примут вид:

Всякие малые дети есть неразумные люди.

Всякий, укрощающий крокодилов, есть заслуживающий уважения.

Всякие неразумные люди не есть заслуживающие уважения.

Возьмем первую и третью посылки. Если обозначить через Р класс сущностей с именем «малые дети», через М – с именем «неразумные люди», а через S – с именем «заслуживающие уважения», то получим схему взаимного расположения Р, М и S, которая соответствует схеме четвертой фигуры на рис. 10.

Рис. 15.

На рис. 15 в верхнем ярусе показаны два возможных варианта областей истинности для первой посылки. Вторая посылка такова, что ее добавление к каждой из областей первой посылки дает только одну альтернативу. Обе области, показанные в нижнем ярусе, есть области типа g (рис. 8). Это означает, что в качестве заключительного высказывания силлогизма может выступать лишь высказывание типа Е. Само заключение при этом имеет вид «Всякие, заслуживающие уважения, не есть малые дети». После этого промежуточного вывода мы имеем две посылки:

Всякие, заслуживающие уважения, не есть малые дети.

Всякий, укрощающий крокодилов, есть заслуживающий уважения.

Если теперь М – класс с именем «заслуживающие уважения» (надо помнить, что М – единственный класс, имя которого встречается в обеих посылках), то Р соответствует классу «малые дети», a S – классу «укрощающий крокодилов». Такое введение классов сущностей приводит нас к первой фигуре силлогистики Аристотеля (рис. 10). Для получения вывода можно воспользоваться тем, что показано на рис. 16. В верхнем ярусе возможна только одна область истинности, а добавление к первой посылке второй приводит к появлению двух вариантов. Эти два варианта дают область истинности, соответствующую схеме базового высказывания Е. Таким образом, окончательное заключение разбираемого нами сорита выглядит следующим образом: «Всякий, укрощающий крокодилов, не есть малые дети».

Рис. 16.

При получении заключений мы из соображений наглядности каждый раз обращались к графической интерпретации областей истинности. На самом деле для правильных модусов силлогистики Аристотеля (поскольку схемы посылок однозначно определяют схему заключения в каждой из четырех фигур) эти заключительные схемы могут при необходимости выдаваться автоматически. Например, для первой фигуры если посылки имеют тип АА, то заключение имеет тип А, а если посылки имеют тип EI, то заключение имеет тип О. Значит, при определении высказывания, стоящего в заключении, нет никакой необходимости строить области истинности высказываний-посылок. Переход к заключению может происходить чисто механически. Надо только определить по виду выбранных посылок номер фигуры, а затем обратиться к таблице правильных силлогизмов, в которой находится ответ по номеру фигуры и типам посылок. Вот эта таблица:

Первая фигура: AAA, EAE, ЕIO, AII, AAI, EAO.

Вторая фигура: ЕАЕ, АЕЕ, ЕIO, АОО, ЕАО, АЕО.

Третья фигура: AAI, IАI, АII, ЕАО, ОАО, ЕIO.

Четвертая фигура: AAI, AEE, IAI, ЕАО, ЕIO, АЕО.

Проиллюстрируем процесс такого механического перехода на примере следующего сорита:

1. Те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия.

2. Любители выпить очень общительны.

3. Человек, выполняющий свои обещания, честен.

4. Ни один трезвенник не ростовщик.

5. Тому, кто очень общителен, всегда можно верить.

Если читатели попробуют «с ходу» сказать, какое заключение следует из этих посылок, то они тут же поймут, что сделать это практически невозможно. Поэтому будем двигаться постепенно, выполняя все необходимые в силлогистике шаги. Постепенность весьма важна, ибо она позволит впоследствии сделать из анализа этого процесса важные выводы для автоматизации вывода рассуждений. Прежде всего преобразуем все посылки сорита в нормальную форму.