Сформулируем теперь совокупность синтаксических правил для исчисления высказываний.

1. Всякое элементарное высказывание является правильной совокупностью (будем говорить далее правильной формулой).

2. Если α и β являются правильными формулами, то правильными формулами являются также

α, (α&β), (αβ) и (αβ).

3. Других правильных формул в исчислении высказываний нет.

Между знаками логических связок

, &, и и конструкциями естественного языка существует некоторая связь, которую проиллюстрируем на примерах. Воспользуемся стихотворением Давида Самойлова «Пестель, поэт и Анна». Вот его начало:

В этом четверостишии можно выделить четыре элементарных высказывания: a – «Там Анна пела с самого утра», b – «Что-то (Анна) шила», с – «Что-то (Анна) вышивала», d – «Песня, долетая со двора, ему невольно сердце волновала». В скобках мы ввели субъект, отсутствующий во второй строке приведенного отрывка. Общая логическая структура всего четверостишия может быть описана следующим образом: (а И (b ИЛИ c) И d). Большими буквами мы выделили союзы, которые в явной форме присутствуют в тексте Д. Самойлова. Можно ли от этой записи перейти к логическим связкам?

Вспомним, что такое конъюнкция и дизъюнкция. Во второй главе, определяя эти связки, мы говорили, что α&β является истинным, если истинны оба утверждения α и β, а α

β является истинным, если истинно хотя бы одно из утверждений α или β. Такое определение связок позволяет перейти от структуры, в которой используются союзы И и ИЛИ, к записи ((a&(bc))&d), которая согласно синтаксическим правилам исчисления высказываний является правильной формулой этого исчисления. Правда, внимательные читатели могут усмотреть в этом переходе некоторую некорректность. Дело в том, что выражение αβ является истинным и тогда, когда одновременно α и β истинны. Но подобный случай в нашем примере невозможен. Анна либо шила, либо вышивала. Одновременно делать то и другое она не могла. Другими словами, одновременная истинность α и β должна была бы давать сигнал о ложности такого утверждения, а дизъюнкция утверждает, что оно истинно. Эту ситуацию можно исправить, введя связку, называемую разделительной дизъюнкцией. Но мы этого делать не будем, так как такая связка есть комбинация более простых связок, которые мы уже ввели: (α&β)(α&β).

Проверим, достигаем ли мы нужной цели с помощью данной комбинации. Если α и β ложны, то ложны правильные формулы (

α&β) и (α&β) и, следовательно, по свойству дизъюнкции ложна и вся большая формула. Если же α и β одновременно истинны, то опять обе конъюнкции ложны, так как в них входят ложные высказывания, получающиеся из истинных путем отрицания, и, следовательно, вся дизъюнкция опять является ложной. И лишь тогда, когда из двух высказываний α и β одно истинно, а другое ложно, мы получаем истинность всего высказывания. После этого уточнения правильная формула исчисления высказываний, соответствующая нашему примеру, примет вид ((а&((b&c)(b&c)))&d).

Рассмотрим еще одну цитату из того же стихотворения: «…Если трон находится в стране в руках деспо́та, тогда дворянства первая забота сменить основы власти и закон». Введем два элементарных высказывания: g – «Трон находится в стране в руках деспо́та» и h – «Дворянства первая забота сменить основы власти и закон». Тогда логическая структура всего высказывания может быть представлена в виде (ЕСЛИ g ТОГДА h). Для перехода к правильной формуле исчисления высказываний воспользуемся импликацией. Раньше она не встречалась. По определению выражение α

β истинно во всех случаях, кроме того, когда α истинно, а β ложно. Другими словами, из истинности α в импликации, которая является истинной, всегда следует истинность β.

Исследуем запись (g

h). Если g истинно, то h должно быть истинно, если фраза, которая вложена Д. Самойловым в уста Пестеля, является истинной. Это хорошо, но что будет в случае, когда утверждение g ложно? Для импликации это означает, что как при истинности h, так и при его ложности вся фраза в целом остается истинной. Другими словами, если неверно, что «Трон находится в стране в руках деспо́та», то дворянство может менять основы власти и закона, а может этого и не делать. Всё равно сложное высказывание будет сохранять свою истинность. Если же мы потребуем, чтобы при ложности g всегда было бы ложным и все высказывание целиком, сохраняя остальные свойства импликации, то мы опять вернемся к конъюнкции.

Наверное, самым разумным с точки зрения здравого смысла было бы вообще отказаться от определения истинности или ложности выражения (ЕСЛИ α ТОГДА β), когда α является ложным. Ибо для выводов в этом случае нет никакой информации. Во второй главе мы использовали знак выводимости

. Вот с его-то помощью и можно формализовать случай, когда в записи gh из истинности g всегда следует истинность h, а при ложности g ничего сказать нельзя. Но знак выводимости не является логической связкой и не входит в синтаксис исчисления высказываний. Поэтому, оставаясь в рамках этого исчисления, мы вынуждены пользоваться импликацией.

И еще одно замечание, касающееся импликации. Эта связка, как и разделительная дизъюнкция, может быть сведена к комбинации других связок, имеющихся в исчислении. Читатели легко могут убедиться в справедливости замены α

β на αβ. Однако по ряду причин в исчислении высказываний в его классической форме импликация сохраняется как самостоятельная связка[5].

Не нужно думать, что переход от фраз на естественном языке к соответствующим им правильным формулам исчисления высказываний столь прост. На этом пути стоит немало трудностей, И прежде всего потому, что частицы и союзы языка типа НЕ, И, ИЛИ, ТО, ЕСЛИ и т.п. не являются однозначными свидетельствами наличия похожих на них связок. Цитата из стихотворения «Смерть поэта» Д. Самойлова иллюстрирует это положение: