В этой главе мы будем иметь дело с пространством, каким оно выступает в классической физике. Это значит, что мы постараемся найти «интерпретацию» (но необходимо только одну, единственно возможную) для геометрических терминов, употребляемых в физике. В отношении пространства встают гораздо более сложные и трудные проблемы, чем в отношении времени. Это происходит отчасти из-за проблем, встающих здесь благодаря теории относительности. Однако сей час мы не будем рассматривать теорию относительности и будем трактовать пространство как нечто не связанное с временем, как поступали физики до Эйнштейна.

Для Ньютона пространство, как и время, было «абсолютным»; это значит, что оно состоит из совокупности точек, каждая из которых лишена структуры и представляет собой конечную составную часть физического мира. Каждая точка вечна и неизменна; изменение заключается в том, что точка иногда «занимается» то одной частью материи, то другой, а иногда остается незанятой. Вопреки этому взгляду Лейбниц утверждал, что пространство есть только система отношений, причем члены отношений материальны, а не просто геометрические точки. Хотя и физики, и философы все больше и больше склонялись к лейбницевскому взгляду, однако же аппарат математической физики продолжал оставаться ньютоновским. В математическом аппарате «пространство» все ещё является собранием «точек», из которых каждая определяется тремя координатами, а «материя» — собранием «частиц», каждая из которых занимает разные точки в разное время. Если мы не обязаны соглашаться с ньютоновским приписыванием точкам физической реальности, то эта система требует такой интерпретации, в которой «точки» имеют структурное определение.

Я употребил выражение «физическая реальность», которое могут считать слишком метафизичным. То, что я имею в виду, можно выразить в форме более приемлемой для современного вкуса с помощью техники минимальных словарей. Если дана совокупность имен, то может случиться, что некоторые из названных вещей имеют структурное определение в терминах других определений; в этом случае мы будем иметь минимальный словарь, не содержащий таких имен, вместо которых могут быть подставлены определения. Например, каждый француз имеет собственное имя, и слова «нация французов» могут тоже рассматриваться как собственное имя, но оно не необходимо, поскольку мы можем сказать, что «нация французов» определяется как «класс, состоящий из следующих индивидуумов (следует перечень всех индивидуумов)». Такой метод применим только к закрытым классам, но существуют другие методы, не связанные таким ограничением. Мы можем определить «Францию» через указание её географических границ и тогда определить «француза» как человека «родившегося во Франции».

Для этого процесса замещения имен структурными определениями в практике имеются явные границы, и, может быть (хотя это и не бесспорно), есть также границы и в теории. Предположив ради простоты, что материя состоит из электронов и протонов, мы могли бы, в теории, дать собственное имя каждому электрону и каждому протону; мы могли бы тогда определить какой-либо индивидуум посредством упоминания электронов и протонов, составляющих его тело в разное время; таким образом, имена человеческих индивидуумов теоретически оказались бы излишними. Говоря вообще, все то, что обладает доступной анализу структурой, не нуждается в имени, поскольку может быть определено с помощью имен ингредиентов и слов, обозначающих их отношения. С другой стороны, все то, что не имеет познанной структуры, нуждается в имени, если нам нужно выражать все наше знание о нем.

Следует заметить, что обозначающее определение не делает имя излишним. Например, «отец Александра Великого» есть обозначающее определение, но оно не позволяет нам выразить факт, который современники могли бы выразить словами «этот человек есть отец Александра», где слово «этот» выполняет функцию имени.

Когда мы отрицаем ньютоновскую теорию абсолютного пространства, продолжая в то же время пользоваться в математической физике тем, что мы называем «точками», наши действия оправдываются только в том случае, если имеется структурное определение «точки» и (в теории) отдельных точек, Такое определение должно достигаться посредством методов сходных с теми, которыми мы пользовались при определении «моментов». Здесь, однако, следует сделать две оговорки: во-первых, что наше многообразие точек должно быть трехмерным и, во-вторых, что точку мы должны определять как момент. Сказать, что точка P, находящаяся в одном времени, тождественна с точкой О, находящейся в другом времени значит сказать нечто, не имеющее определенного смысла, кроме условного, зависящего от выбора материальных осей. Но так как этот вопрос связан с теорией относительности, я не буду сейчас рассматривать его подробно и ограничусь определением точек в данный момент, игнорируя при этом трудности, связанные с определением одновременности.

В последующем я не подчеркиваю именно тот метод построения точек, который я применяю. Другие методы также возможны, и некоторые из них могут даже оказаться более предположительными. Важно отметить только то, что можно изобрести такие методы. В определении моментов мы использовали отношение «совпадения» во времени — отношение, которое имеет место между двумя событиями, когда (в обычном языке) имеется время, в течение которого оба существуют. В определении точек мы пользуемся отношением «совмещения» в пространстве, которое должно иметь место между двумя одновременными событиями, занимающими (в обычном языке) одну и ту же область пространства в целом или частично. Следует заметить, что события, в противоположность частям материи, не следует считать взаимонепроницаемыми. Непроницаемость материи есть свойство, которое тавтологически вытекает из её определения. «События», однако, определяются только как термины, не обладающие структурой и имеющие такие пространственные и временные отношения, которые принадлежат конечным объемам пространства и конечным периодам времени. Когда я говорю «такие, которые», я имею в виду «сходные в отношении логических свойств». Но «совпадение» само по себе не определяется логически; оно является эмпирически познаваемым отношением, имеющим в том построении, которое я защищаю, только наглядное определение.

В многообразии более одного измерения, посредством бинарного отношения «совмещения», мы ничего не можем построить такого, что обладало бы свойствами, требуемыми от «точек». В качестве простейшего примера возьмем фигуры на плоскости.

Три фигуры на плоскости — А, В и С — могут налегать друг на друга так, что каждая налегает на две остальные, и вместе с тем так, что нет области, общей для всех трех фигур. На приведенном рисунке круг А налегает на прямоугольник В и треугольник С, а прямоугольник В налегает на треугольник С, но при этом нет области, общей для А, В и С. Основанием нашей конструкции должно быть отношение не двух, а трех фигур. Мы будем говорить, что три площади являются «соточечными» (copunctual), когда имеется область, общая для всех трех фигур. (Это — объяснение, а не определение.)

Мы будем исходить из того, что фигуры, с которыми мы имеем дело, или являются кругами, или получаются из кругов благодаря растяжениям или сжатиям, при которых сохраняется овальность. В этом случае если даны три соточечные фигуры А, В и С и четвертая фигура D такая, что и Л, В, D и А, С, D, и В, С, D соточечны, то A, В, С и D все имеют общую область.

Мы теперь называем группу, состоящую из любого числа фигур, «соточечной», если каждая триада из этой группы будет соточечной. Соточечная группа фигур представляет собой «точку», если она не может быть расширена, не перестав быть соточечной, то есть если для любой фигуры X, не принадлежащей группе, в этой группе имеются по крайней мере две фигуры А и В, такие, что А, В и Х не являются соточечными.

Это определение применимо только в двух измерениях. В трех измерениях мы должны начинать с отношения соточечности между четырьмя пространственными фигурами, причем все эти фигуры должны быть или сферами, или такими овалоидами, которые получаются из сфер благодаря непрерывному растяжению в одних направлениях и сжатию в других. Тогда, как и перед этим, соточечная группа фигур является такой, в которой каждые четыре фигуры соточечны; соточечная группа представляет собой «точку», если она не может быть расширена, не перестав быть соточечной.