В том, что до сего времени было сказано о мире науки, все принималось в ней за чистую монету. Я не говорю, что мы встали на точку зрения доверия к тому, что ученые говорят нам, на том основании, что эта точка зрения является единственно рациональной для людей, не являющихся специалистами в этом вопросе. Говоря, что эта точка зрения является рациональной, я не хочу сказать, что мы должны быть абсолютно уверены в истинности того, что нам говорят, так как общепризнанно, что, по всей видимости, все, что говорится, будет со временем нуждаться в исправлениях. Я хочу сказать, что наилучшее научное мнение современности имеет больше шансов оказаться истинным или приблизительно истинным, чем любая из разных гипотез, высказываемых неспециалистами. Положение здесь аналогично стрельбе в цель. Если вы плохой стрелок, то вы, по всей видимости, не попадете в центр мишени; тем не менее больше шансов, что вы попадете в центр мишени, чем в какое-либо другое место. Так и гипотеза ученого, которая может и не быть вполне истинной, все же имеет больше шансов оказаться таковой, чем любое предположение, высказанное человеком, стоящим вне науки. Однако в этой главе не этот вопрос является предметом нашего рассмотрения.

Предметом, который мы сейчас собираемся исследовать, является не истина, а интерпретация. Часто случается, что мы имеем как будто достаточное основание верить в истинность какой-либо формулы, выраженной в математических символах, хотя и не можем дать ясного определения этик символов. В других случаях бывает также, что мы можем придать несколько различных значений символам, каждое из которых делает формулу истинной. В первом случае у нас нет даже и одной определенной интерпретации нашей формулы, тогда как во втором случае мы имеем много интерпретаций. Такая ситуация, могущая показаться странной, возникает в чистой математике и в математической физике; она возникает даже при интерпретации такого утверждения обыденного здравого смысла, как: «В моей комнате есть три стола и четыре стула». Таким образом, окажется, что существует большой класс утверждений, в отношении каждого из которых мы больше уверены в его истинности, чем в его значении. «Интерпретация» касается именно таких утверждений; оно состоит в нахождении возможно более точного значения для утверждения этого вида или иногда в нахождении целой системы возможных значений.

Возьмем сначала пример из чистой математики. Люди давно были убеждены в том, что 2х2=4; они так твердо были убеждены в этом, что это выражение служило ходячим примером чего-либо бесспорного. Но когда людей спрашивали, что они имеют в виду под знаками «2», «4», «+» и «=», они давали неопределенные и различные ответы, которые показывали, что они не знают, что значат эти символы. Некоторые полагали, что мы знаем каждое число благодаря интуиции и, следовательно, не имеем нужды в их определении. Это могло бы казаться вполне приемлемым там, где речь идет о малых числах, ко кто может иметь интуицию числа 3 478 921? Итак, они говорили, что мы имеем интуицию «1» и «+»; далее мы можем определить «2» как сумму «1+1», «3» как сумму «2+1», «4» как «3+1» и так далее Но это не давало вполне хороших результатов. Это давало возможность сказать, что 2+2=(1+1)+(1+1) и что «4»=(1+1)+1+1, вслед за чем нам нужна была новая интуиция для расстановки скобок и для убеждения, что, если /, m, n — три числа, то (/+m)+ +n=/+(m+n). Некоторые философы могли производить эту интуицию по требованию, но большинство людей относилось к их заявлениям до некоторой степени скептически и чувствовало, что здесь применялся какой-то другой метод.

Новый шаг вперед, более удобный для нашей проблемы интерпретации, был сделан Пеано. Пеано начал с трех не имевших определения терминов — «О», «конечное целое (или число)» и «следующее за» — и в отношении этих терминов дал пять положений, именно:

1. О есть число.

2. Если а есть число, то и следующее за а (то есть о+1) есть число.

3. Если два числа имеют одно и то же следующее за ними, то эти два числа тождественны.

4. О не является следующим за каким-либо числом.

5. Если s есть класс, к которому принадлежит 0 и также следующее за всяким числом, принадлежащим к s, то каждое число принадлежит к s.

Последнее из этих положении является принципом математической индукции.

Пеано показал, что с помощью этих пяти положений он может доказать любую формулу в арифметике.

Но вслед за этим возникло новое затруднение. Было признано, что, пока мы имеем в виду нечто удовлетворяющее этим пяти положениям, нам не нужно знать, что мы имеем в виду под «0», «числом» и «следующим». Но тогда оказалось, что существует бесконечное число возможных интерпретаций. Например, пусть «О» значит то, что мы обычно называем «1», и пусть «число» значит то, что мы обычно называем «числом, не являющимся О», тогда все пять положений оказываются все ещё истинными и вся арифметика может быть доказана, хотя каждая формула будет иметь неожиданное значение. «2» будет обозначать то, что мы обычно называем «З», но выражение «2+2» не будет значить «З+З»; оно будет значить «3+2», а «2+2=4» будет значить то, что мы обычно выражаем знаками «3+2=5». Подобным же образом мы могли бы истолковать арифметику при допущении, что «О» значит «100» и что «число» значит «число большее, чем 99». И так далее.

Пока мы остаемся в области арифметических формул, все эти различные интерпретации «числа» равно хороши. И только тогда, когда мы начинаем эмпирическое употребление чисел в перечислении, мы находим основание для предпочтения одной интерпретации всем другим. Когда мы покупаем что-нибудь в магазине и продавец говорит: «Три шиллинга», его «три» не является только математическим символом, обозначающим «третий термин от начала какой-либо последовательности»; его «три» не может быть определено его арифметическими свойствами. Ясно, что вне арифметики его интерпретация «трех» является предпочтительным перед всеми другими, которые допускаются как возможные системой Пеано. Такие утверждения, как: «люди имеют 10 пальцев», «собаки имеют 4 ноги», «Нью-Йорк имеет 10000000 жителей», требуют такого определения чисел, которое не может быть получено на основе только того, что эти числа удовлетворяют формулам арифметики. Такое определение является, следовательно, наиболее удовлетворительной «интерпретацией» числовых символов.

Такая ситуация возникает всякий раз, когда математика применяется к эмпирическому материалу. Возьмем, например, геометрию, но не как логическое упражнение в выведении следствий из произвольно принятых аксиом, а как науку, помогающую в землемерном деле, в составлении карт, в инженерном деле или в астрономии. Такое практическое использование геометрии связано с затруднением, которое хотя в какой-то степени иногда и признается, но никогда всерьез не принимается. Геометрия, излагаемая математиками, пользуется точками, линиями, плоскостями и окружностями, но было бы банальностью говорить, что никаких таких объектов нет в природе. Когда в землемерном деле употребляется процесс триангуляции, то признается, что наши треугольники не имеют строго прямых линий для своих сторон, как не имеют и точных точек для своих углов, но при интерпретации говорят, что стороны приблизительно являются прямыми линиями, а углы — приблизительно точками. Значение этого приближения не совсем ясно, пока считается, что не существует вполне точных прямых линий или точек, к которым наши кое-как намеченные линии и точки могли бы приближаться. Мы можем считать, что чувственные линии и точки имеют приблизительно свойства, установленные в определениях и аксиомах Евклида, но если мы не можем установить в каких-то границах, каково это приближение, то такая точка зрения делает вычисление неопределенным и неудовлетворительным.

Эта проблема точности математики и неточности чувств является весьма древней проблемой, которую Платон пытался разрешить с помощью фантастической гипотезы воспоминания. В новое время эта проблема, как и некоторые другие неразрешенные проблемы, была забыта благодаря тому, что с ней сжились, как иногда не замечают дурной запах потому, что в течение долгого времени привыкают к нему. Ясно, что если геометрия должна применяться к чувственно воспринимаемому миру, то мы должны найти определения точек, линий, плоскостей и так далее в терминах чувственных данных или же мы должны быть в состоянии вывести из чувственных данных существование невоспринимаемых сущностей, имеющих такие свойства, в которых нуждается геометрия. Нахождение путей или пути к выполнению того или другого является проблемой эмпирической интерпретации геометрии.