Предположим, например, что мы хотим интерпретировать формулы арифметики. В пяти аксиомах Пеано (приведенных выше) имеются: во-первых, логические термины, такие, как «есть» и «тождественно с», значение которых предполагается известным; во-вторых, переменные, такие, как а и s» которые должны остаться переменными после интерпретации; в-третьих, термины «О», «число» и «следующее за»» для которых интерпретация должна найти такое постоянное значение, которое сделало бы эти пять аксиом истинными. Как мы видели, существует бесконечное количество интерпретаций, удовлетворяющих этим условиям, но среди них есть только одно, которое удовлетворяет также и эмпирическим утверждениям перечисления, таким, как: «У меня 10 пальцев». В этом случае, следовательно, существует одна интерпретация, которая является гораздо более удобной, чем любая из остальных.

Как мы видели в отношении геометрии, имеющийся набор аксиом допускает два способа интерпретации — один логический и один эмпирический. Все номинальные определения, если их проследить достаточно далеко, должны привести в конце концов к терминам, имеющим только наглядные определения, и в случае эмпирической науки эмпирические термины должны зависеть от терминов, наглядные определения которых даются в восприятии. Солнце астронома, например, сильно отличается от того, что видим мы, но оно должно иметь определение, полученное из наглядного определения слова «солнце», которое мы познали ещё в детстве. Таким образом, эмпирическая интерпретация набора аксиом, когда она является полной, должна всегда включать в себя термины, имеющие наглядное определение, полученное из чувственного опыта. Оно не будет, конечно, содержать только такие термины, так как в нем всегда будут также и логические термины; но эмпирическим интерпретация делает только наличие в нем терминов, полученных из опыта.

К вопросу об интерпретации незаслуженно относились с пренебрежением. Пока мы остаемся в области математических формул, все кажется определенным, но когда мы стараемся интерпретировать их, оказывается, что эта определенность в какой-то степени иллюзорна. Пока этот вопрос не выяснен, мы не можем сказать с какой-либо точностью, что, собствен но, утверждает та или иная конкретная наука.

В этой главе мы рассмотрим лингвистическую технику, которая очень полезна в анализе научных понятий. Как правило, существует несколько способов, с помощью которых слова, употребляемые в науке, могут быть определены небольшим числом терминов из числа этих слов. Эти немногие термины могут иметь или наглядные, или номинальные определения с помощью слов, не принадлежащих к данной науке, или — пока наука не «интерпретирована» в рассмотренном в предыдущей главе смысле — могут быть оставлены как бы без наглядного и без номинального определения и рассматриваться просто как набор терминов, имеющих те свойства, которые наука приписывает своим основоположным терминам. Такой набор начальных слов я называю «минимальным словарем» данной науки, если только (a) каждое иное слово, употребляемое в науке, имеет номинальное определение с помощью слов этого минимального словаря и (b) ни одно из этих начальных слов не имеет номинального определения с помощью других начальных слов.

Все, о чем говорится в науке, может быть сказано посредством слов минимального словаря, ибо всякий раз, когда появляется слово, имеющее номинальное определение, мы можем подставить вместо него предложение, содержащее определение; если это предложение содержит слова с номинальным определением, мы можем снова подставить новое определяющее предложение и так далее, пока ни одно из оставшихся слов не будет иметь номинальных определений. Действительно, определяемые термины являются излишними и только неопределяемые термины неизбежны. Но вопрос о том, какие термины должны остаться неопределенными, является отчасти произвольным. Возьмем, например, исчисление высказываний, которое является простейшим и самым законченным образцом формальной системы. Мы можем взять слова «или» и «не» или «и» и «не» как неопределенные; вместо двух таких неопределенных терминов мы можем взять один, например «не этот или не тот» или «не этот и не тот». Таким образом, вообще мы не можем сказать, что такое-то слово должно включаться в минимальный словарь такой-то науки, но можем, самое большее, сказать, что существует один или больше минимальных словарей, в которые оно включается.

В качестве примера возьмем географию. При этом я буду исходить из того, что словарь геометрии уже установлен; тогда нашей первой явно географической потребностью является метод установления широты и долготы. Для этого будет достаточно иметь в качестве части нашего минимального словаря слова: «Гринвич», «Северный полюс» и «к западу от»; но ясно, что любая другая точка годилась бы для этого совершенно так же, как Гринвич и Южный полюс годился бы так же, как Северный полюс. Отношение «к западу от» не является на самом деле необходимым, ибо линия, параллельная широте, является окружностью на земной поверхности в плоскости, перпендикулярной диаметру, проходящему через Северный полюс. Остальные слова, употребляемые в физической географии, такие, как «суша», «вода», «гора» или «равнина», могут теперь быть определены в терминах химии, физики или геометрии. Таким образом, по-видимому, только два слова — «Гринвич» и «Северный полюс» необходимы для того, чтобы сделать географию наукой о поверхности Земли, а не какого-либо другого сфероида. Именно благодаря наличию этих двух слов (или двух других, служащих той же цели) география может рассказать об открытиях путешественников. Именно эти два слова участвуют везде, где упоминаются широта и долгота.

Как показывает этот пример, наука, по мере того как она становится более систематической, нуждается во все меньшем и меньшем минимальном словаре. Древние знали много географических фактов до того, как научились определять широту и долготу, но для того чтобы выразить эти факты, они нуждались в большем числе неопределенных слов, чем нуждаемся мы. Поскольку Земля есть сфероид, а не сфера, нет надобности, чтобы «Северный полюс» оставался неопределенным: мы можем определить два полюса как крайние точки самого короткого диаметра Земли, а Северный полюс определить как полюс, ближайший к Гринвичу. Этим путем мы приходим к тому, что «Гринвич» остается единственным неопределенным термином, характерным для географии. Сама Земля определяется как «сфероид, поверхность которого образуется сушей и водой, ограниченными атмосферой, и на поверхности которого расположен Гринвич». Но здесь мы, на пути к уменьшению нашего минимального словаря, достигаем, по-видимому, предела: если мы хотим быть уверенными в том, что речь идет о Земле, мы должны упомянуть какую-либо точку, находящуюся на её поверхности, или иметь определенное геометрическое отношение к ней, а точка должна быть такой, которую мы можем узнать. Поэтому, будь то «Нью-Йорк», «Москва» или «Тимбукту», пригодные для этой цели совершенно так же, как и «Гринвич», все равно какой-то пункт должен быть включен в минимальный словарь географии.

Наш разговор о Гринвиче выясняет и ещё один момент, именно то, что термины, официально не определенные в науке, могут не быть тождественными с терминами, не определенными для того или иного человека. Если вы никогда не видели Гринвич, то слово «Гринвич» не может для вас иметь наглядного определения; следовательно, вы не можете понять это слово, если оно не имеет номинального определения. Действительно, вы живете в пункте, называемом «P», то для вас P занимает место Гринвича и ваша официальная долгота определяет для вас меридиан Гринвича, а не долготу p. Такие соображения, однако, являются донаучными и обычно игнорируются в анализе научных понятий. Для определенных целей они не могут игнорироваться, особенно когда мы рассматриваем отношение науки к чувственному опыту; но, как правило, игнорирование их не опасно.