Займемся прежде всего бинарными отношениями. Мы будем говорить, что класс а, упорядочиваемый отношением R, имеет ту же самую структуру, что и класс p, упорядочиваемый отношением S, если каждому члену в классе а соответствует, какой-либо член в классе p., и наоборот, и если два члена в классе а имеют отношение R, a соответствующие члены в классе B имеют отношение S, и наоборот. Мы можем иллюстрировать это подобием между устной и письменной речью. Здесь класс произносимых слов в предложении есть а, класс написанных слов в предложении есть p, и если одно произносимое слово произносится раньше другого, то написанное слово, соответствующее произносимому, помещается налево от другого написанного слеза, соответствующего другому произносимому (или направо в еврейском языке). В результате этого тождества структуры устные и письменные предложения могут переводиться одно в другое. Процесс обучения чтению и письму есть процесс обучения тому, какое произносимое слово соответствует данному написанному (напечатанному) слову, и наоборот.

Структура может быть определена несколькими отношениями. Возьмем, например, музыкальный отрывок. Одна нота может быть раньше или позже другой или быть одновременной с ней. Одна нота может быть сильнее другой, или выше по тону, или отличаться хорошей или плохой гармонией. Все эти отношения, имеющие в музыке значение, должны иметь аналоги в граммофонной пластинке, если она дает хорошее воспроизведение музыки. Говоря, что пластинка должна иметь ту же самую структуру, что и музыка, мы подразумеваем, что мы имеем здесь дело не с одним только отношением R между нотами музыки и одним соответствующим отношением S между соответствующими знаками на пластинке, а с многими отношениями, подобными R, и с многими соответствующими отношениями, подобными S. Некоторые карты используют разные цвета для обозначения различной высоты над уровнем моря; в этом случае различные положения на карте соответствуют разным широтам и долготам, тогда как разные цвета соответствуют различным высотам над уровнем моря. Тождество структуры в таких картах большее, чем в других; благодаря этому они способны давать больше сведений.

Определение тождества структуры совершенно то же самое для отношений более высокого порядка, как и для бинарного отношения. Если даны, например, два тернарных отношения R и S и если даны два класса а и p, из которых а находится в поле R, тогда как p находится в поле S, то мы скажем, что а, упорядоченный отношением R, имеет ту же самую структуру, что и p, упорядоченный отношением S, если имеется способ сопоставления членов класса к с членами класса p, и наоборот, так что, если о1, а2, а3 сопоставлены соответственно с Ь1, Ь2, Ь3 и если R связывает a1, о2, а3 (в этом порядке), то S связывает b1, b2, b3 (в этом порядке), и наоборот. Здесь опять-таки может быть несколько отношений, таких, как R, и несколько таких, как S; в этом случае получается тождество структуры в различных отношениях.

Когда два сложных образования имеют одну и ту же структуру, для каждого утверждения об одном, поскольку оно зависит только от структуры, имеется соответствующее утверждение о другом, истинное, если первое было истинным, и ложное, если первое было ложным. Отсюда возникает возможность словаря, посредством которого утверждения об одном комплексе могут быть переведены в утверждения о другом. Или вместо словаря мы можем продолжать употреблять одни и те же слова, но придавать им другие значения в соответствии с тем комплексом, к которому они относятся. Это происходит при интерпретации текста священного писания и при интерпретации законов физики. «Дни» в рассказе Библии о сотворении мира интерпретируются как «века», и этим способом книга Бытия приводится в согласие с геологией. В физике при предположении, что наше знание физического мира касается только структуры и образуется из эмпирически познаваемого отношения «соседства» в топологическом смысле, мы обладаем безграничной широтой интерпретации наших символов. Всякая интерпретация, которая сохраняет уравнения и связь с нашим чувственным опытом, имеет равные права рассматриваться как возможно истинная и может с одинаковым правом использоваться физиком как одеяние голого скелета его математических исчислений.

Возьмем, например, вопрос о волнах в их сравнении с частицами. До последнего времени считалось, что это основной вопрос: свет должен состоять или из волн, или из пучков маленьких частиц, называемых фотонами. Считалось несомненным, что материя состоит из частиц. Но в конце концов было обнаружено, что уравнения остаются одними и теми же, состоят ли материя и свет из частиц или из волн. И не только уравнения остаются теми же самыми, но и все доступные проверке следствия. Каждая из этих гипотез, следовательно, одинаково законна, и ни одна из них не может рассматриваться как обладающая каким-либо преимуществом в её притязании на истинность. Основанием для этого служит то, что как по одной, так и по другой гипотезе мир имеет одну и ту же структуру и одно и то же отношение к опыту.

Соображения, вытекающие из важности структуры, показывают, что наше знание, особенно в физике, является гораздо более абстрактным и гораздо более насыщенным логикой, чем это казалось. Имеется, однако, очень определенный предел для процесса превращения физики в логику и математику; он устанавливается тем фактом, что физика есть эмпирическая наука, правдоподобие которой зависит от её отношения к нашему чувственному опыту. Дальнейшее развитие этой темы должно быть отложено до того времени, когда мы подойдем к теории научного вывода.

Читатель вспомнит, что в отношении какой-либо данной системы знания минимальный словарь определяется по его двум свойствам: 1) каждое предложение в этой данной системе знания может быть выражено посредством слов, принадлежащих к минимальному словарю, 2) ни одно слово в этом словаре не может быть определено с помощью других слов этого словаря. В этой главе я хочу показать связь этого определения со структурой.

Прежде всего следует отметить, что минимальный словарь не может содержать имена для сложных образований, структура которых известна. Возьмем, например, имя «Франция». Оно обозначает определенную географическую область и может быть определено как «все точки в пределах таких-то границ». Но мы не можем в порядке обращения определить эти границы термином «Франция». Мы хотим сказать: «Эта точка находится на границе Франции», — что требует имени для этой точки или для составных частей, из которых оно состоит. «Эта точка» входит в определение слова «Франция», но слово «Франция» не входит в определение слов «Эта точка».

Из этого следует, что каждое открытие структуры позволяет нам уменьшить минимальный словарь, необходимый для данного содержания предмета. Химия раньше нуждалась в именах для всех элементов, но теперь различные элементы могут быть определены в терминах атомной структуры с помощью двух слов: «электрон» и «протон» (или, может быть, с помощью трех слов: «электрон», «позитрон», «нейтрон»). Любая область пространства-времени может быть определена в терминах её частей, но её части не могут быть определены посредством терминов, обозначающих её саму. Человек может быть определен через перечисление в правильном временном порядке всех случившихся с ним событий, но сами эти события не могут быть определены с помощью терминов, обозначающих этого человека. Если вы хотите говорить как о сложных событиях, так и о том, что является их составными частями, вы всегда можете сделать это без названий этих сложных событий, если вы знаете их структуру. Таким образом анализ упрощает, систематизирует и сокращает ваш первоначальный аппарат.

Слова, необходимые для эмпирической науки, бывают трех видов. Это, во-первых, собственные имена, которые обычно обозначают какую-либо непрерывную часть пространства-времени; таковыми являются: «Сократ», «Уэльс», «Солнце». Затем слова, обозначающие качества или отношения; примерами качеств являются: «красный», «горячий», «громкий», а примерами отношений являются: «выше», «раньше», «между». Затем логические слова: «или», «не», «некоторые», «все». В связи с разбираемым нами сейчас вопросом мы можем игнорировать логические слова и сосредоточиться на двух других видах.