Едва ли не четыре сотни лет они были главными учебниками математики в Европе.

В «Книге абака» Фибоначчи описывает и свое собственное математическое изобретение – числовой ряд, в котором каждый последующий член равен сумме двух ему предшествующих.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Этот ряд – решение задачи о потомстве двух кроликов, сформулированной самим Фибоначчи. Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

С точки зрения математиков эта последовательность очень интересная. Одна из главных ее особенностей – отношение каждого последующего члена этого ряда к предыдущему неуклонно приближается к числу 1,618. «Волшебное» это число известно с античных времен и называется еще «золотым сечением». Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Еще древнеегипетские и древнегреческие архитекторы установили, что если пропорции здания соответствуют золотому сечению, здание кажется нам красивым. К тому же оно оказывается наиболее устойчивым. Да и пропорции человеческого тела соответствуют «странной» цифре. Этот факт демонстрирует всем известный рисунок Леонардо да Винчи: фигура человека, помещенная в круг. Расстояние от ног человека до пупа (центра тела) и от пупа до головы находятся между собой в «золотой пропорции». Более того, многие существующие в природе спирали (рога животных, морские раковины, даже космические галактики) образуются как последовательность окружностей, радиусы которых относятся между собой, как числа Фибоначчи. Обычная для математики история. Математический объект возникает в результате решения какой-нибудь математической задачи, исследуется математиками по законам логики и возникает перед их мысленным взором во всей красе. И затем обнаруживается в самых разнообразных областях природы и жизни. Благодаря этому странному свойству математики возникла теоретическая физика, которая строит математические модели природы и с помощью этих моделей предсказывает новые физические эффекты.

«Наука начинается с тех пор, как начинают измерять; точная наука немыслима без меры», – утверждал великий Дмитрий Иванович Менделеев. Абстрактный мир чисел, которым истово поклонялся Пифагор, связывает с реальным физическим миром одно простое действие, называемое измерением. Измерение – это сопоставление какой-либо физической величины с некоторым эталоном. При этом желательно, чтобы эталон был как можно более воспроизводимым, а сам процесс измерения – как можно более точным.

К повышению точности измерений приложили руку два человека, чьи имена нам приходится вспоминать, пользуясь нониусом или вращая рукоятки электрических приборов, снабженных верньерами.

Нониус – это вспомогательная шкала на измерительном приборе, повышающая точность измерений. Нониус видел всякий, кто хоть раз пользовался штангенциркулем или микрометром. Шкала нониуса помещается напротив основной шкалы. Нониус обычно имеет десять делений, но его длина равна только девяти делениям основной шкалы. В результате одно из делений на шкале нониуса всегда будет совпадать с одним из делений основной шкалы. Номер этого деления нониуса укажет количество десятых долей основной шкалы. Таким образом, простое, но хитроумное это устройство позволяет на порядок увеличить точность измерения основной шкалы.

Нониус назван так в честь португальского математика Педру Нуниша (Pedro Nunes; 1492–1577), который по-латински писал свое имя как Петрус Нониус. Большинству из нас его имя незнакомо. Между тем, в свое время Нуниш считался одним из лучших математиков Европы. Среди прочих у него обучался немецкий монах-иезуит Кристофер Клавиус, «главный архитектор» той календарной реформы, которую мы по имени осуществившего ее римского папы Григория XIII называем григорианским календарем, или новым стилем.

Первоначально Нуниш учился в университете испанского города Саламанка, а затем всю жизнь был связан с университетом в Лиссабоне. Когда в 1537 году университет переехал из столицы в город Коимбру, Нуниш переехал следом.

В 1525 году Нуниш получил степень доктора медицины и стал профессором университета. Он преподавал философию, логику, мораль и метафизику, что совсем не мешало ему непрерывно учиться. Педру продолжал изучать математику, астрономию и астрологию. Тогда особой разницы между двумя последними науками не делали. Точные математические расчеты нужны были и при вычислении положения небесных светил, и при расчерчивании натальной карты.

Большинство работ Нуниша было связано с навигацией, что не удивительно. Португальцы были тогда одними из лучших мореходов в мире. Благодаря стараниям принца Энрике по прозвищу Мореплаватель (Dom Henrique о Navegador; 1394–1460) у страны появились первые колонии в Африке. Появился и флот, оснащенный легкими трехмачтовыми кораблями, каравеллами.

Кораблям нужны капитаны, кораблям нужны навигаторы. Те и другие появились, когда в них возникла нужда. По большей части это были еврейские и арабские мореходы из Испании и с марокканских берегов. Для многих из них мореплавание являлось семейной профессией. Знания по навигации и морские карты передавались по наследству. Мореходы поголовно были грамотеями и полиглотами, ведь им приходилось разговаривать на языках многих народов, населявших побережья Средиземного моря и Индийского океана. В 1492 году тех из них, кто не принял христианство, изгнали из Испании. Многие изгнанники нашли приют в Португалии. Правда, через шесть лет новоприбывших насильно обратили в христианство, а тех, кто веру сменить не пожелал, тоже изгнали.

При жизни Нуниша в Португалии уже были моряки, успешно обогнувшие Африку, прошедшие по Индийскому океану до Индии. За Атлантическим океаном они открывали и осваивали берега страны, которую позже назовут Бразилией. Но и моряков, и штурманов для растущего королевского флота требовалось больше. Нуниш обучал их «навигацкому делу» в университете Коимбры. Математика была наукой стратегической.

Нуниш проделал виртуозные расчеты для уточнения навигационных карт. (Любая карта требует такого уточнения, потому что развертка поверхности земной сферы на плоскость не может быть выполнена без искажений.) А еще он более чем на сто лет раньше братьев Иоганна и Якова Бернулли научился вычислять продолжительность сумерек в любом месте земного шара, что тоже необходимо мореплавателям.

Нуниш был, вероятно, последним ученым-астрономом, трудившимся над усовершенствованием геоцентрической системы Птолемея. О системе Коперника ему было известно. Но, по-видимому, он посчитал более простым и практически полезным делом добавить еще несколько поправок к исправно действовавшей теории, чем создавать новую. Тем более что в тогдашней Португалии за такую теорию вполне можно было поплатиться. С тем, что Земля – шар, церковные авторитеты уже были согласны, однако гелиоцентрическая теория еще проходила по ведомству инквизиции.

Нуниш усердно разрабатывал основы сферической геометрии. Так, он первым понял, что корабль, следующий постоянным румбом, то есть все время держащий определенное направление, будет двигаться совсем не по кратчайшему пути, а по некоторой спиральной линии на поверхности глобуса, локсодрому. На известном памятнике первооткрывателям (Padrão dos Descobrimentos) в окрестностях Лиссабона среди прочих изображен и Нуниш с глобусом в руках. Если приглядеться, то на глобусе изображена та самая спиральная линия, которую открыл Нуниш.

Мореплавание без правильных расчетов и без точных навигационных приборов невозможно. Нуниш усовершенствовал конструкцию астролябии, которая повсеместно использовалась корабельными штурманами при прокладке курса. Добавление вспомогательной шкалы-нониуса повысило точность определения местонахождения корабля.