И. Н. Розенгауз.

Теплопроводности уравнение

Теплопрово'дности уравне'ние,дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности . Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:

 

,

где r — плотность среды; c_v — теплоёмкость среды при постоянном объёме; t — время; х, у, z — координаты; Т = Т (х, у, z, t ) — температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; l — коэффициент теплопроводности; F = F (x, y, z, t ) — заданная плотность тепловых источников. Величины r, C_v ,l зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо l содержит тензор теплопроводности l_ir, где i, k = 1, 2, 3.

  В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид:

 

,

где DT — Лапласа оператор , a² = l /(rc_v ) — коэффициент температуропроводности; f = F/ (rc_v ). В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение DТ = f /a² = F /l или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение DТ = 0. Основными задачами для Т. у. является Коши задача и смешанная краевая задача (см. Краевые задачи ).

  Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским , А. Н. Тихоновым , С. Л. Соболевым .

  Лит.: Карслоу Г. С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.— Л., 1947: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

  Д. Н. Зубарев.

Теплопроводность

Теплопрово'дность, один из видов переноса теплоты (энергии теплового движения микрочастиц) от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры. При Т. перенос энергии в теле осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией. Если относительное изменение температуры Т на расстоянии средней длины свободного пробега частиц l мало, то выполняется основной закон Т. (закон Фурье): плотность теплового потокаq пропорциональна градиенту температуры grad T, то есть

, (1)

где l — коэффициент Т., или просто Т., не зависит от grad T [l зависит от агрегатного состояния вещества (см. табл. ), его атомно-молекулярного строения, температуры и давления, состава (в случае смеси или раствора) и т. д.].

Значения коэффициента теплопроводности l для некоторых газов, жидкостей и твёрдых тел при атмосферном давлении

Вещество	t, ° C	l,вт/ (м× К)
Газы Водород Гелий Кислород Азот Воздух Металлы Серебро Медь Железо Олово Свинец Жидкости Ртуть Вода Ацетон Этиловый спирт Бензол Минералы и материалы Хлорид натрия Турмалин Стекло Дерево Асбест	0 0 0 -3 4 0 0 0 0 0 0 20 16 20 22,5 0 0 18 18 18	0,1655 0,1411 0,0239 0,0237 0,0226 429 403 86,5 68,2 35,6 7,82 0,599 0,190 0,167 0,158 6,9 4,6 0,4—1 0,16—0,25 0,12

  Отклонения от закона Фурье могут появиться при очень больших значениях grad T (например, в сильных ударных волнах ), при низких температурах (для жидкого гелия Не II) и при высоких температурах порядка десятков и сотен тысяч градусов, когда в газах перенос энергии осуществляется не только в результате межатомных столкновений, но в основном за счёт излучения (лучистая Т.). В разреженных газах, когда l сравнимо с расстоянием L между стенками, ограничивающими объём газа, молекулы чаще сталкиваются со стенками, чем между собой. При этом нарушается условие применимости закона Фурье и само понятие локальной температуры газа теряет смысл. В этом случае рассматривают не процесс Т. в газе, а теплообмен между телами, находящимися в газовой среде. Процесс переноса теплоты —Т. — в сплошной среде описывается теплопроводности уравнением .

  Для идеального газа , состоящего из твёрдых сферических молекул диаметром d, согласно кинетической теории газов , справедливо следующее выражение для \ (при

):

, (2)

где r — плотность газа, c_v — теплоёмкость единицы массы газа при постоянном объёме V,

 — средняя скорость движения молекул. Поскольку J пропорциональна 1/р, а r ~ р (р — давление газа), то Т. такого газа не зависит от давления. Кроме того, коэффициент Т. l и вязкости m связаны соотношением: . В случае газа, состоящего из многоатомных молекул, существенный вклад в l дают внутренние степени свободы молекул, что учитывает соотношение:

 

,

где g = ср/c_v, ср — теплоёмкость при постоянном давлении. В реальных газах коэффициент Т. — довольно сложная функция температуры и давления, причём с ростом Т и р значение l возрастает. Для газовых смесей l может быть как больше, так и меньше коэффициента Т. компонентов смеси, то есть Т. — нелинейная функция состава.

В плотных газах и жидкостях среднее расстояние между молекулами сравнимо с размерами самих молекул, а кинетическая энергия движения молекул того же порядка, что и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. В связи с этим перенос энергии столкновениями происходит значительно интенсивнее, чем в разреженных газах, и скорость передачи энергии молекул от горячих изотермических слоев жидкости к более холодным близка к скорости распространения малых возмущений давления, равной скорости звука, т. е.

, где u_s  — скорость звука в жидкости,  — среднее расстояние между молекулами. Эта формула лучше всего выполняется для одноатомных жидкостей. Как правило, l жидкостей убывает с ростом Т и слабо возрастает с ростом р. Т. твёрдых тел имеет различную природу в зависимости от типа твёрдого тела. В диэлектриках , не имеющих свободных электрических зарядов, перенос энергии теплового движения осуществляется фононами — квазичастицами, квантами упругих колебаний атомов кристалла (см. Колебания кристаллической решётки , Квазичастицы ). У твёрдых диэлектриков , где с — теплоёмкость диэлектрика, совпадающая с теплоёмкостью газа фононов,  — средняя скорость движения фононов, приблизительно равная скорости звука,  — средняя длина свободного пробега фононов. Существование определённого конечного значения l — следствие рассеяния фононов на фононах, на дефектах кристаллической решётки (в частности, на границах кристаллитов и на границе образца). Температурная зависимость л. определяется зависимостью от температуры с и l . При высоких температурах (T >> Q_D, где Q_D — Дебая температура ) главным механизмом, ограничивающим l , служит фонон-фононное рассеяние, связанное с ангармонизмом колебаний атомов кристалла. фонон-фононный механизм теплосопротивления (1/l — коэффициент теплосопротивления) возможен только благодаря процессам переброса (см. Твёрдое тело ), в результате которых происходит торможение потока фононов. Чем Т выше, тем с большей вероятностью осуществляются процессы переброса, а l уменьшается: при T >> Q_Dl ~ 1/T и, следовательно, l ~ 1/T , так как с в этих условиях слабо зависит от Т . С уменьшением Т (при T << Q_D ) длина свободного пробега, определяемая фонон-фононным рассеянием, резко растет () и, как правило, ограничивается размерами образца (R ). Теплоёмкость при T << Q_D убывает ~ Т³ благодаря чему l при понижении температуры проходит через максимум. Температура, при которой l имеет максимум, определяется из равенства l (T ) » R.