а–nа–m —а–m а–n = 0,
а+nа+m—а+m а+n = 0 (7)
Однако существуют поля, для которых связь между произведением операторов рождения и уничтожения, взятых в различном порядке, имеет др. вид: знак минус в (7) заменяется на плюс (это называется заменой коммутаторов на антикоммутаторы),
(8)
а–nа–m —а–m а–n = 0, а+nа+m—а+m а+n = 0
[эти соотношения также относят к классу перестановочных соотношений, хотя они и не имеют вида (6)]. Операторы, подчиняющиеся соотношениям (8), необходимо вводить для полей, кванты которых имеют полуцелый спин (т. е. являются фермионами) и вследствие этого подчиняются Паули принципу, согласно которому в системе таких частиц (например, электронов) невозможно существование двух или более частиц в одинаковых состояниях (в состояниях с одинаковым набором всех квантовых чисел). Действительно, построив вектор состояния, содержащего 2 частицы (двухчастичного состояния), а+m а+n Y, нетрудно убедиться [учитывая (8)], что при n = m он равен самому себе с обратным знаком; но это возможно только для величины, тождественно равной нулю. Т. о., если операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют перестановочным соотношениям (8), то состояния с двумя (или более) частицами, имеющими одинаковые квантовые числа, автоматически исключаются. Такие частицы подчиняются Ферми — Дирака статистике. Для полей же, кванты которых имеют целый спин, операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют соотношениям (7); здесь возможны состояния с произвольным числом частиц, имеющих одинаковые квантовые числа.
Наличие двух типов перестановочных соотношений имеет фундаментальное значение, поскольку оно определяет два возможных типа статистик.
Необходимость введения некоммутирующих операторов для описания систем с переменным числом частиц — типичная черта вторичного квантования.
Заметим, что «первичное квантование» также можно рассматривать как переход от классической механики, в которой координаты q и импульсы p являются обычными числами (т. е., конечно, qp = pq), к такой теории, в которой q и р заменяются некоммутирующими операторами:. Переход от классической теории поля к квантовой (например, в электродинамике) производится аналогичным методом, но только роль координат (и импульсов) должны при этом играть величины, описывающие распределение поля во всём пространстве и во все моменты времени. Так, в классической электродинамике поле определяется значениями напряжённостей электрического Е и магнитного Н полей (как функций координат и времени). При переходе к квантовой теории Е и Н становятся операторами, которые не коммутируют с оператором числа фотонов в поле.
В квантовой механике доказывается, что если 2 каких-либо оператора не коммутируют, то соответствующие им физические величины не могут одновременно иметь точные значения. Отсюда следует, что не существует такого состояния электромагнитного поля, в котором были бы одновременно точно определёнными напряжённости поля и число фотонов. Если, в силу физических условий, точно известно число фотонов, то совершенно неопределёнными (способными принимать любые значения) оказываются напряжённости полей. Если же известны точно эти напряжённости, то неопределенным является число фотонов. Вытекающая отсюда невозможность одновременно положить равными нулю напряжённости поля и число фотонов и является физической причиной того, что вакуумное состояние не представляет собой просто отсутствие поля, а сохраняет важные физические свойства.
3. Полевые методы в квантовой теории многих частиц. Математические методы К. т. п. (как уже отмечалось) находят применение при описании систем, состоящих из большого числа частиц: в физике твёрдого тела, атомного ядра и т.д. Роль вакуумных состояний в твёрдом теле, например, играют низшие энергетические состояния, в которые система переходит при минимальной энергии (т. е. при температуре Т ® 0). Если сообщить системе энергию (например, повышая её температуру), она перейдёт в возбужденное состояние. При малых энергиях процесс возбуждения системы можно рассматривать как образование некоторых элементарных возбуждений — процесс, подобный порождению частиц в К. т. п. Отдельные элементарные возбуждения в твёрдом теле ведут себя подобно частицам — обладают определенной энергией, импульсом, спином. Они называются квазичастицами. Эволюцию системы можно представить как столкновение, рассеяние, уничтожение и порождение квазичастиц, что и открывает путь к широкому применению методов К. т. п. (см. Твёрдое тело). Одним из наиболее ярких примеров, показывающих плодотворность методов К. т. п. в изучении твердого тела является теория сверхпроводимости.
4. Кванты — переносчики взаимодействия. В классической электродинамике взаимодействие между зарядами (и токами) осуществляется через поле: заряд порождает поле и это поле действует на другие заряды. В квантовой теории взаимодействие поля и заряда выглядит как испускание и поглощение зарядом квантов Поля — фотонов. Взаимодействие же между зарядами, например между двумя электронами в К. т. п. является результатом их обмена фотонами: каждый из электронов испускает фотоны (кванты переносящего взаимодействие электромагнитного поля), которые затем поглощаются др. электроном. Это справедливо и для др. физических полей: взаимодействие в К. т. п. — результат обмена квантами поля.
В этой достаточно наглядной картине взаимодействия есть, однако, момент, нуждающийся в дополнительном анализе. Пока взаимодействие не началось, каждая из частиц является свободной, а свободная частица не может ни испускать, ни поглощать квантов. Действительно, рассмотрим свободную неподвижную частицу (если частица равномерно движется, всегда можно перейти к такой инерциальной системе отсчёта, в которой она покоится). Запаса кинетической энергии у такой частицы нет, потенциальной — излучение энергетически невозможно. Несколько более сложные рассуждения убеждают и в неспособности свободной частицы поглощать кванты. Но если приведённые соображения справедливы, то, казалось бы, неизбежен вывод о невозможности появления взаимодействий в К. т. п.
Чтобы разрешить этот парадокс, нужно учесть, что рассматриваемые частицы являются квантовыми объектами и что для них существенны неопределённостей соотношения. Эти соотношения связывают неопределённости координаты частицы (Dх) и её импульса (Dр):
(9)
Имеется и второе соотношение — для неопределённостей энергии DE и специфического времени Dt данного физического процесса (т. е. времени, в течение которого процесс протекает):
. (10)
Если рассматривается взаимодействие между частицами посредством обмена квантами поля (это поле часто называется промежуточным), то за Dt естественно принять продолжительность такого акта обмена. Вопрос о возможности испускания кванта свободной частицей отпадает: энергия частицы, согласно (10), не является точно определённой; при наличии же квантового разброса энергий DE законы сохранения энергии и импульса не препятствуют более ни испусканию, ни поглощению переносящих взаимодействие квантов, если только эти кванты имеют энергию ~ DE и существуют в течение промежутка времени
.
