1. Квантованное свободное поле. Вакуумное состояние поля, или физический вакуум. Рассмотрим электромагнитное поле, или — в терминах квантовой теории — поле фотонов. Такое поле имеет запас энергии и может отдавать её порциями. Уменьшение энергии поля на h n означает исчезновение одного фотона частоты n, или переход поля в состояние с уменьшившимся на единицу числом фотонов. В результате последовательности таких переходов в конечном итоге образуется состояние, в котором число фотонов равно нулю, и дальнейшая отдача энергии полем становится невозможной. Однако, с точки зрения К. т. п., электромагнитное поле не перестаёт при этом существовать, оно лишь находится в состоянии с наименьшей возможной энергией. Поскольку в таком состоянии фотонов нет, его естественно назвать вакуумным состоянием электромагнитного поля, или фотонным вакуумом. Следовательно, вакуум электромагнитного поля — низшее энергетическое состояние этого поля.

  Представление о вакууме как об одном из состояний поля, столь необычное с точки зрения классических понятий, является физически обоснованным. Электромагнитное поле в вакуумном состоянии не может быть поставщиком энергии, но из этого не следует, что вакуум вообще никак не может проявить себя. Физический вакуум — не «пустое место», а состояние с важными свойствами, которые проявляются в реальных физических процессах (см. ниже). Аналогично, и для др. частиц можно ввести представление о вакууме как о низшем энергетическом состоянии полей этих частиц. При рассмотрении взаимодействующих полей вакуумным называют низшее энергетическое состояние всей системы этих полей.

  Если полю, находящемуся в вакуумном состоянии, сообщить достаточную энергию, то происходит возбуждение поля, т. е. рождение частицы — кванта этого поля. Т. о., появляется возможность описать порождение частиц как переход из «ненаблюдаемого» вакуумного состояния в состояние реальное. Такой подход позволяет перенести в К. т. п. хорошо разработанные методы квантовой механики — свести изменение числа частиц данного поля к квантовым переходам этих частиц из одних состояний в другие.

  Взаимные превращения частиц, порождение одних и уничтожение других, можно количественно описывать при помощи так называемого метода вторичного квантования [предложенного в 1927 П. Дираком и получившего дальнейшее развитие в работах В. А. Фока (1932)].

  2. Вторичное квантование. Переход от классической механики к квантовой называют просто квантованием, или реже — «первичным квантованием». Как уже говорилось, такое квантование не даёт возможности описывать изменение числа частиц в системе. Основной чертой метода вторичного квантования является введение операторов, описывающих порождение и уничтожение частиц. Поясним действие этих операторов на простом примере (или модели) теории, в которой рассматриваются одинаковые частицы, находящиеся в одном и том же состоянии (например, все фотоны считаются имеющими одинаковую частоту, направление распространения и поляризацию). Т. к. число частиц в данном состоянии может быть произвольным, то этот случай соответствует бозе-частицам, или бозонам,

подчиняющимся Бозе — Эйнштейна статистике.

  В квантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N частицами вектор состояния Y_N; квадрат модуля Y_N, |Y_N|², определяющий вероятность обнаружения N частиц, обращается, очевидно, в 1, если N достоверно известно. Это означает, что вектор состояния с любым фиксированным N нормирован на 1. Введём теперь оператор уничтожения частицы а^– и оператор рождения частицы а⁺. По определению, а^– переводит состояние с N частицами в состояние с N—1 частицей, т. е.

     (3)

  Аналогично, оператор порождения частицы а⁺ переводит состояние Y_N в состояние с N + 1 частицей:

,     (4)

[множители

 в (3) и  в (4) вводятся именно для выполнения условия нормировки: |Y_N|²= 1]. В частности, при N = 0 а⁺Y = Y₁, где Y — вектор состояния, характеризующий вакуум; т. е. одночастичное состояние получается в результате порождения из «вакуума» одной частицы. Однако а^–Y = 0, поскольку невозможно уничтожить частицу в состоянии, в котором частиц нет; это равенство можно считать определением вакуума. Вакуумное состояние Y имеет в К. т. п. особое значение, т.к. из него при помощи операторов а⁺ можно получить любое состояние. Действительно, в рассматриваемом случае (когда состояние всей системы определяется только числом частиц)

,

,     (5)

……………………………………

  Легко показать, что порядок действия операторов а^– и а⁺ не безразличен. Действительно, а^–(а⁺Y) = а^–Y₁ = Y, в то время как а⁺(а^–Y) = 0. Т. о., (a^–a⁺ — a⁺a^–)Y = Y, или

a^–a⁺—a⁺a^– = 1,     (6)

т. е. операторы а⁺ и а^–являются непереставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в различном порядке называется перестановочными соотношениями, или коммутационными соотношениями для этих операторов, а выражения вида

 — коммутаторами операторов  и .

  Если учесть, что частицы могут находиться в различных состояниях, то, записывая операторы порождения и уничтожения, надо дополнительно указывать, к какому состоянию частицы эти операторы относятся. В квантовой теории состояния задаются набором квантовых чисел, определяющих энергию, спин и др. физические величины; для простоты обозначим всю совокупность квантовых чисел одним индексом n: так, а⁺_n обозначает оператор рождения частицы в состоянии с набором квантовых чисел n. Средние числа частиц, находящихся в состояниях, соответствующих различным n, называются числами заполнения этих состояний.

  Рассмотрим выражение a^–_n а⁺_mY. Сначала на Y действует «ближайший» к нему оператор а⁺_m; это отвечает порождению частицы в состоянии m. Если n = m, то последующее действие оператора а^–_n приводит опять к Y, т. е. а^–_nа⁺_nY₀ = Y. Если n ¹ m, то а^–_nа⁺_mY₀ = 0, поскольку невозможно уничтожение таких частиц, которых нет (оператор а^–_n описывает уничтожение частиц в таких состояниях n, каких не возникает при действии a⁺_n на Y). С учетом различных состоянии частиц перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения имеют следующий вид: