Но вернемся к рассказу Рихера. «После арифметики он переходил к музыке, в которой галлы долгое время были невежественны и которую он сделал очень популярной. Определяя высоту тона струн с помощью монохорда[23] и разделяя консонансы на тоны, полутоны и даже на трети и четверти тона… он восстановил совершенное знание музыки». Трудно предположить, однако, чтобы в теоретических вопросах Герберт пошел дальше Боэция, который в «Наставлениях к музыке» говорит об арифметических отношениях октавы (1:2), кварты (3:4), квинты (2:3), полутона (243:256), большого полутона (aptome) к малому (limma vel dieses) (139:104), о комме – разнице между целой октавой и совокупностью кварты и квинты и так далее. Отсутствие гаммы, изобретенной полувеком позднее бенедиктинским монахом Гвидо из Ареццо[24] (ок. 990–ок.1050), в значительной степени затрудняло понимание этой отвлеченной теории музыки, и поэтому лишь Герберт с его знанием математики смог просветить «невежественных галлов». Впрочем, Рихер говорит, что сам он и архидьякон Геранн отказались от изучения этого искусства («ввиду крайней его сложности»).
Рихер ничего не сообщает о характере преподавания Гербертом геометрии, но о познаниях caput scholae можно судить по его незавершенной книге «Геометрия» и письму монаху Адельбольду из Утрехта. В теоретическом отношении книга Герберта представляла собой компиляцию из сочинений Боэция и Евклида. Но «Начала» великого грека были известны тогда латинской Европе лишь фрагментарно, а ни греческого, ни арабского языков Герберт не знал. Поэтому в «Геометрии» он привел только формулировки Евклидовых теорем и доказательства трех из них. Проявляя некоторый критический дух, в целом отсутствующий в этом сочинении, он указывал, что в действительности ни одна точка, ни одна линия и поверхность не встречаются иначе, чем в связи с каким-нибудь телом, и лишь мысленно мы отрываем точки, линии и поверхности от этих тел.
Практическая часть книги посвящена приемам римских агрименсоров (землемеров). Герберт пишет об измерении длин, площадей и объемов различных геометрических фигур. Он показывает, как с помощью астролябии, стрелы с привязанной ниткой и измерения тени можно вычислить площади фигур разной формы; определяет число зданий, которые можно разместить на этой площади; измеряет высоту доступных и недоступных объектов (башен, церквей, гор), узнает ширину реки, глубину колодца и так далее.
Для вычисления площади равностороннего треугольника (важнейшая задача при проведении землеустройства) он рекомендует принимать его высоту равной 6/7 стороны, что весьма близко к правильному значению (√3/2). «Пусть будет тебе известно общее правило для нахождения высоты, в равностороннем треугольнике, – пишет Герберт Адельбольду: отнимай всегда от стороны седьмую часть и шесть остальных считай за высоту. Но чтобы ты лучше понял, о чем идет речь, возьмем пример… Дан тебе треугольник, сторона которого равна 7 футам длины; по геометрическому правилу я его [площадь] измеряю так: отнимаю от стороны седьмую часть и, принимая остальные 6/7 за перпендикуляр, умножаю его на сторону и говорю: 6х7=42; половина этого числа 21 и есть площадь означенного треугольника». Далее Герберт разъясняет своему корреспонденту ошибку агрименсоров, которые измеряют площадь квадратами и не принимают при этом в расчет тех отрезков этих фигур, которые оставались вне измеряемой площади («поэтому вместо числа 21 они получали в ответе неверное число 28»).
Критически оценивая оригинальность математических трудов Герберта, историки науки соглашаются с тем, что его «Геометрия» и письмо Адельбольду – первые геометрические достижения бедной математической культуры Средневековья.
Излагая последний предмет квадривия – астрономию, Герберт использовал наглядные (как мы бы сказали сегодня) пособия, что было, конечно, неслыханным новшеством в педагогической практике Х века. Рихер довольно туманно и, видимо, не до конца понимая[25], описал астрономические инструменты Герберта. Но если соединить сообщаемые им сведения с теми, что содержатся в письме Герберта к уже знакомому нам схоластику Константину, можно в общих чертах представить себе устройство и принцип действия астрономических инструментов, которые использовались в реймской школе.
Чтобы познакомить учеников со звездной картой и научить их распознавать созвездия и отдельные звезды, Герберт изготовил деревянную сферу диаметром около трех футов. На ней он провел две окружности так, чтобы их плоскости были взаимно перпендикулярны. Точки пересечения этих окружностей он определил как Северный и Южный полюсы Мира. Затем с помощью циркуля разделил полуокружность от одного полюса до другого на тридцать частей и начертил на сфере пять параллельных кругов. Первый находился на расстоянии шести частей от Северного полюса (арктический круг); далее через пять частей была расположена линия тропика Рака, и затем через четыре части – линия небесного экватора. Оставшееся расстояние до Южного полюса он разметил параллелями аналогичным образом. По одной из взаимно перпендикулярных окружностей он разделил сферу на две полусферы и выдолбил одну из них, получив таким образом плоскую полусферическую оболочку. В местах пересечения другой окружности с каждой из пяти параллелей, а также в полюсах установил по диоптре[26] длиной в полфута. Чтобы сделать всю конструкцию жесткой, он вставил концы диоптр в отверстия, просверленные в железном полукольце, которое крепилось к основанию инструмента.
Перед началом наблюдений Герберт устанавливал инструмент так, чтобы верхняя диоптра была наведена на Полярную звезду, казавшуюся всю ночь неподвижной. Затем ученики вели наблюдения через другие диоптры за звездами, отмечая пути их движения по небосводу. Днем они сравнивали полученные сведения с теми, что содержались в астрономических рукописях, и наносили на учебные небесные глобусы отдельные звезды и контуры созвездий, раскрашивая их в различные цвета. Сверить свои результаты они могли по большому глобусу, собственноручно изготовленному учителем и установленному так, чтобы ось мира, соединявшая Северный и Южный полюсы, была наклонена на угол, соответствующий широте места (49° для Реймса). Заметим, что, поскольку Герберт делил полуокружность не на сто восемьдесят, а на тридцать частей, каждой из этих частей соответствовали 6 градусам. Поэтому Полярный круг у Герберта находился на отметке 26°, а не 23°8», но линия тропика Рака была расположена достаточно точно.
Второй астрономический инструмент Герберта – армиллярная сфера (от лат. armilla – браслет, кольцо) была известна уже греческому астроному и математику Эратосфену Киренскому (276–194 до н. э.) и великому греческому полимату Клавдию Птолемею (ок.87–165), а также средневековым арабским ученым. Она применялась для определения экваториальных или эклиптических координат небесных светил и состояла из нескольких деревянных колец с делениями, снабженных диоптрами и способных поворачиваться вокруг своей центральной точки. Герберт дополнил инструмент Птолемея еще одним кольцом, расположенным наклонно поперек сферы. На нем были нанесены знаки Зодиака. Над сферой он поместил изготовленные из железной и медной проволоки контуры созвездий и снабдил ее диоптрами, чтобы наблюдать за изменениями положения полярной звезды. «Эта машина, – пишет Рихер, – была столь чудесна, что даже тот, кто был невежествен в науке, но знал местоположение хотя бы одного созвездия на сфере, мог найти другие самостоятельно, без помощи учителя». Позднее, уже будучи римским папою, Герберт сконструировал и изготовил новую армиллярную сферу, основываясь на астрономических таблицах великого арабского ученого Абу-л-Хасан Али ибн Аби Саид Абд-ар-Рахман ибн Юнис ал-Садафи ал-Мисри (950–1009).
Конструируя планетарий, представлявший собой действующего модель движения планет, Герберт черпал необходимые сведения из «Естественной истории» римского эрудита Плиния Старшего (23–79 н. э.) и комментариев римского философа и писателя Амвросия Феодосия Макробия (IV век н. э.) к платоновскому «Тимею». Основой планетария была армиллярная сфера, которую Герберт дополнил главной осью и кольцами, соответствующими пяти параллелям его небесного глобуса. Утолщение в центре главной оси представляло собой неподвижную Землю, остальные планеты «моделировались» металлическими шариками, подвешенными на тонких нитях. Они могли вручную перемещаться по своим орбитам, которые Герберт представил изогнутыми и прикрепленными к главной оси проволочками. Расстояние от Земли до Луны он принял за единицу, а остальные планеты расположил соответственно платоновскому закону совершенных числовых отношений (1:2,3,4,8,9,27). Вся конструкция могла поворачиваться вокруг главной оси, устанавливаемой вертикально. Демонстрируя движение планет, Герберт вращал планетарий, в то время как один из его учеников перемещал «планеты» по их орбитам.
