Папирус Ринда начинается с таблицы разложения дробей типа 2/(2π + 1), в которой n — натуральное число от 2 до 50:

То, что таблица помещена в начало трактата, типично для его полутеоретического, полупрактического характера. Писец или его неизвестный предшественник экспериментальным путем пришел к некоторому уровню абстракции и счел целесообразным представить его.

Затем следуют 40 арифметических задач (см. задачу 4 на рис. 9), которые связаны с делением 1, 2…, 9 на 10, умножением дробей, задач на дополнение вычитаемого до уменьшаемого (дополнить ²/₃ ¹/₃₀ до 1; правильный ответ – ¹/₅ ¹/₁₀), задачи на величины (сумма некоторой величины и ¹/₇ от нее равняется 19; найти величину. Ответ – 16 ¹/₂ ¹/₈), деление на дробь, деление на меру хекат, деление хлебов в арифметической прогрессии (см. пример ниже). Эти задачи ведут к уравнениям первой степени с одним неизвестным. Конечно, на папирусе нет уравнений, но можно отметить символы, обозначающие сложение, вычитание и даже один символ, представляющий неизвестную величину. Задача в Берлинском папирусе (№ 6619) Кахуна (XII династия) решается двумя уравнениями, причем одно из них квадратичное, с двумя неизвестными. В современной записи:

х² + у² = 100

У = ³/₄ х.

Рис. 9. Папирус Ринда, задача 4 (частично в Британском музее, частично в Нью-Йоркском историческом обществе). Верхняя часть воспроизводит изначальный иератический шрифт; ниже приведена запись иероглифами с транслитерацией. Вольный перевод: «Раздели 7 хлебов между 10 людьми». Решение: каждый получит по ⁷/₁₀ = ²/₃ + ¹/₃₀, то есть нужно сначала каждый хлеб разделить на 3 части и дать каждому по две, а затем разделить оставшуюся треть на 10 частей и дать каждому по одной.

Всего 7 хлебов, что правильно

Ответ: x = 8, у = 6. Тогда 8² + 6² = 100, или 4² + З² = 5²; мы узнаем числа, фигурирующие в теореме Пифагора (к ней мы еще вернемся).

Вот последняя арифметическая задача:

Задача 40. «Раздели 100 хлебов между 5 людьми таким образом, чтобы доли, доставшиеся каждому, находились в арифметической прогрессии и ¹/₇ от суммы трех самых больших доль была равна сумме двух меньших. Какова разница между долями?»

Решение: пусть разница между долями составляет 5¹/₂ Тогда доли, доставшиеся 5 людям, будут

23 17¹/₂ 12 6¹/₂ 1, всего 60.

Столько раз, сколько необходимо умножить 60, чтобы получилось 100, на столько же необходимо умножить эти доли.

1 60

²/₃ 40

Всего 1²/₃ на 60 дает 100.

Умножить на 1²/₃:

Задачи 41–60 связаны с вычислением площади и объема, а задачи 61–84 носят смешанный характер. Площадь треугольника вычисляют умножением его основания на половину стороны; это верно лишь для остроугольных треугольников. Объем цилиндрического амбара диаметра d и высоты h вычислялся по формуле (d — 1/9d)²h. Это довольно близко к площади круга – 0,7902 d2 0,7854d2, как если бы π равнялось не 3,14, а 3,16.

Нет оснований полагать, что египтяне знали теорему Пифагора, если не считать одного косвенного указания на это в Берлинском папирусе. Возможно, египтяне получили нужные ответы эмпирическим путем, но вопрос остается неясным. То, что приобрести такие знания было относительно легко и они преодолевали и более серьезные трудности, – несерьезный довод. В истории науки обычное явление, когда задачи не всегда решались (одним народом либо всеми коллективно) по мере возрастания сложности.

Ссылка Демокрита Абдерского (V в. до н. э.) на мудрых египетских harpedonaptai, то есть землемеров, которые измеряли расстояния веревкой с узелками, часто трактуется неверно. По словам Демокрита, ни один современник, в том числе египетские землемеры, не превзошел его в построении фигур из линий и в расчете их площади. Комментаторы без дальнейших доказательств пришли к выводу, что землемеры могли вычерчивать нужные углы с помощью веревки с узелками. Скорее всего, функция веревки с узелками была астрономической, а не математической. «Растягивание шнура» было одной из первых церемоний при закладке храма. Шнур или веревку необходимо было растягивать по меридиану, чтобы правильно сориентировать храм. Вполне возможно, что «растягиватели веревок» умели также строить перпендикуляр к меридиану; возможно, они делали это с помощью веревки, поделенной на 3, 4, 5 частей. Впрочем, это лишь догадки, как и все гипотезы, по которым открытие теоремы Пифагора приписывают древним индусам или китайцам.

В Московском математическом папирусе (папирусе Голенищева) всего 25 задач, но одна из них захватывает дух. Похоже, она доказывает, что древние египтяне умели вычислять объем усеченной пирамиды, и решение у них такое же, как у нас, представленное формулой

V = (h/3) (a² + ab + b²),

где h — высота усеченной пирамиды, а и b – стороны квадратных оснований.

Это решение можно назвать шедевром древнеегипетской геометрии. Оно свидетельствует о раннем развитии науки в Древнем Египте и о гениальности египтян. Скорее всего, решение было найдено ими уже в XIX в. до н. э., если не раньше, и они так и не превзошли его, хотя продолжали работать на протяжении еще трех тысячелетий.

Самым главным техническим достижением с точки зрения его культурных последствий стало изобретение папируса, которое обсуждалось выше. Скажем несколько слов о двух других событиях, каждое из которых открывало бесконечные возможности, – изготовление стекла и ткачество.

Невозможно установить, когда стекло впервые было изготовлено специально (сохранились несколько образцов додинастической эпохи), но к началу XVIII династии (ок. 1580 г. до н. э.) стекло уже производили в широком масштабе, а к середине той эпохи (ок. 1465 г.) техника изготовления стекла достигла высокого уровня. Стекло получается из сплава кварца (кремнезема) со щелочью. Щелочь, обнаруженная в египетских образцах, – по большей части сода; поташ присутствовал лишь в малой пропорции. Это доказывает, что кремнезем египтяне добывали главным образом из натрона (декагидрата карбоната натрия), а не путем выщелачивания древесной золы; остатки стекольных заводов были обнаружены на раскопках во впадине Вади-эн-Натрун на северо-востоке Ливийской пустыни, между Александрией и Каиром. Впадина получила свое название благодаря озерам, богатым содой. (Этот богатый источник соли и соды эксплуатируется по сей день.) Египтяне изготавливали глазурь разных видов, главным образом для покрытия глиняных сосудов, а также разноцветное стекло – аметистовое, черное, синее, зеленое, красное, белое, желтое. Значит, они знали, что добавление определенных металлов или оксидов некоторых металлов к основным материалам (кварцевому песку и карбонату натрия) позволяет добиться желаемых эффектов. Было бы крайне ошибочно называть подобные эмпирические познания химией или говорить, например, что древние египтяне знали кобальт, потому что кобальт обнаружен в античном стекле (уже в эпоху XVIII династии). Тем не менее наличие кобальта имеет большое значение, так как соединения кобальта в Египте не встречаются; их приходилось ввозить из других регионов (Персия, Кавказ). Значит, египетские стеклоделы уже были настолько искушенными, что искали за границей различные ингредиенты, чтобы добиться новых цветов, в данном случае – синего.