На первый взгляд башня, как бы это сказать помягче, детская забава. Тем не менее у нее множество практических применений. Психологи используют ее для проверки когнитивных способностей; преподаватели информатики – для обучения рекурсивным алгоритмам; инженеры-программисты – в качестве схемы ротации при резервном копировании данных.

Почему праздное времяпрепровождение с легкостью превращается в научное исследование? Почему граница между работой и досугом такая зыбкая и проницаемая?

Честно говоря, не знаю. Подозреваю, Эдуард тоже не знал. Можно сказать лишь одно: простые математические предпосылки приводят к глубоким выводам. Вот что такое математика на самом деле: сложное взаимодействие простых идей. Эдуард так говорил о «Точках-клеточках»: «Несмотря на всю свою незамысловатость, на практике эта игра преподносит сюрприз за сюрпризом».

Потому что бесполезная игра часто рождает наиполезнейшие идеи.

В первой публикации, посвященной «Точкам-клеточкам», Эдуард Люка пространно рассуждает о ценности чистого любопытства. Он приводит множество исторических примеров и утверждает, что мы должны задавать вопросы спонтанно, какими бы глупыми они ни казались, поскольку неизвестно, насколько глубокие истины можно раскрыть.

Его стиль довольно витиеватый, однако все равно я процитирую[9]:

Каждый математик хочет вскрыть глубокие связи между несопоставимыми идеями. Вопрос в том, как этого добиться. Напряженно работать? Возможно. Терпеливо вычислять? Не повредит. Подсмотреть ответ в конце задачника? Простите, не угадали. Позволить воображению резвиться?

А вот здесь есть о чем поговорить.

Эдуард верил, что глубина возникает из игры, наука – из дуракаваляния. И он был не одинок. Элвин Берлекамп научился играть в «Точки-клеточки», когда ему было 6 лет, и спустя 70 лет все еще не утратил интереса к ним. Он играл на протяжении всей жизни. И где-то посредине странствия земного, когда он изучал электротехнику в Массачусетском технологическом институте, его осенило: можно использовать математику, чтобы создать «дуальную игру», которую он окрестил «Нити и монеты».

Как выглядит эта альтернативная версия? Нарисуйте монеты, соединенные нитями. Один конец каждой нити приклеен к какой-либо монете, а другой – либо к соседней монете, либо к столу. Игроки поочередно разрезают нити ножницами. Если монета высвобождается, она достается вам, и вы зарабатываете право на еще один ход. Игра длится до тех пор, пока игроки не разберут все монеты. Побеждает тот, у кого больше монет.

Никаких квадратиков – лишь монеты. Никаких отрезков – лишь натянутые нити. Но, по сути, игра та же самая. Не меняя принципиальную структуру, Элвин вывернул «Точки-клеточки» наизнанку.

Зачем? Да просто так. Забавы ради. «Пусть мыслители мыслят, а мечтатели мечтают, – писал Эдуард Люка, – не тревожась о том, что иногда занимаются чем-то несерьезным или бесполезным, ибо, по словам мудреца Анаксагора, во всём есть часть всего».

Эта философия вдохновляла математические изыскания на протяжении тысячелетий, и она прослужит нам еще тысячелетия. Пусть мыслители мыслят. Пусть мечтатели мечтают. Пусть студенты чертят закорючки на полях конспектов лекций. Не проводите границу между практичным и непрактичным, полезным и бесполезным, пустым и идеальным. Это области одного и того же необитаемого континента, одной и той же прекрасной девственной земли, которую мы лишь начали изучать.

Шведская доска. Границы поля уже нарисованы.

Точки-треугольнички. Правила те же, но вы играете на треугольном поле и сражаетесь за равносторонние треугольники. На мой взгляд, это делает игру красивее (к тому же треугольники легче начертить). Идеальное решение, если вас утомил классический вариант игры, а курьер с пиццей еще не прибыл.

Назарено. В этом усовершенствованном варианте игры из книги Андреа Анджолино «Отточенный карандаш и игры на бумаге» меняются два правила. Во-первых, вы можете проводить прямую линию любой длины, если она не пересекает уже начерченные линии. (Таким образом, вы можете дорисовать несколько квадратов сразу.) Во-вторых, если вы дорисовали квадрат, то не получаете дополнительный ход.

Если новое правило в «Точках-треугольничках» меняет вид знакомой игры, то в «Назарено» все наоборот: в знакомой игре открываются новые горизонты.

Квадратный полип. Свихнувшийся визионер Уолтер Джорис в книге «Сто стратегических игр с карандашом и бумагой» предлагает несколько игр, напоминающих «Точки-клеточки». Моя любимая – 90-я по счету: «Квадратный полип». Участвуют два игрока. Понадобятся цветные карандаши.

1. Нарисуйте поле 9 × 9 точек (или поменьше, если вы новичок; или побольше, если вы знаток) и по очереди рисуйте квадратные полипы. Это квадраты с двумя ответвлениями, например:

2. Стремитесь захватить как можно больше квадратов. Каждый полип автоматически занимает квадрат 1 × 1, но умелый игрок может получить области покрупнее и более причудливой формы.

3. Линии не должны пересекаться[10]. Это правило позволяет сорвать планы противника, выпустив одно-единственное смертоносное щупальце (но будьте осторожны: противник может настолько же легко сорвать ваши планы).

4. Играйте до тех пор, пока не останется ни одного хода. Выигрывает тот, кто занял наибольшую часть поля.

Из школьной геометрии мы выносим одну пренеприятную истину: размер имеет значение. И в самом деле, размер – одно из основополагающих свойств в материальном мире. Углы бывают острыми, прямыми или тупыми. Фигуры имеют длину, площадь или объем. Порция мокко с соленой карамелью может быть большой, маленькой или средней. Так или иначе все сводится к размеру. Черт возьми, само название школьного предмета недвусмысленно об этом говорит: в переводе с древнегреческого оно означает «землемерие».

Вас раздражает такая зацикленная на размере философия? Тогда вам понравится топология. Там фигуры растягиваются, словно резина, податливы, словно пластилин, раздуваются, словно воздушные шары. Не фигуры, а трансформеры! В этом текучем мире лавовых ламп размер не имеет значения. По сути, о размерах там не идет и речи.

Топология ищет более глубокие истины.

Хотите узнать какие? Для первого знакомства лучше всего подойдет игра «Ростки». Какие точки можно соединить? Сколько областей возникнет? В чем разница между «внутри» и «снаружи»? Придержите свои шляпы – или их топологические эквиваленты – и наслаждайтесь игрой, правила которой легко поймет любой ребенок, но перебрать варианты развития событий не под силу ни одному суперкомпьютеру.