Кувшинки, рисовые зерна и СПИД
Детей и некоторых взрослых можно озадачить вот таким шуточным вопросом:
«В пруду с площадью поверхности 1300 кв. м растет кувшинка. С началом весны на ней появляется один лист. Площадь этого листа 100 кв. см. Через неделю на кувшинке уже два листа. Еще через неделю – четыре. Через 16 недель она покрывает собой половину поверхности пруда. Через какое время будет покрыт весь пруд?»
Если исходить из того, что кувшинка продолжает расти, не снижая темпа, то, разумеется, остается лишь неделя до того, как она покроет весь пруд, – ведь кувшинка увеличивает площадь своих листьев на 100 % еженедельно. Тем не менее для многих это задание оказывается сложным. Если кувшинке понадобилось 16 недель для того, чтобы покрыть половину пруда, трудно бывает осознать, что на вторую половину ей нужна всего одна неделя.
Есть старинный анекдот об игроке в шахматы и его господине, индийском правителе. После того как правителю была представлена эта игра, он от скуки пообещал ее изобретателю щедрую награду: тот мог попросить любую дорогую вещь из королевской сокровищницы. Изобретателя игры разозлило то, что правитель недостаточно внимательно отнесся к его детищу, и он задумал тонкую хитрость. Он попросил лишь об очень скромной награде. Никакого золота или драгоценных камней, лишь немного риса – вот чего он пожелал. Всего лишь такое количество, которое можно уместить на шахматной доске, если на первую клетку положить одно зернышко, на вторую – два, на третью – четыре, на четвертую – восемь, и так далее.
Правитель очень образовался, что так дешево отделается от обязательства с наградой, и, слегка посмеиваясь над глупостью шахматиста, послал за миской риса. Очень скоро обнаружилось, что миски совершенно недостаточно, а некоторые расчеты, произведенные придворным математиком, показали, что это «очень скромное» пожелание изобретателя шахмат невыполнимо. Только на последнюю клетку доски потребуется в общей сложности 263 рисовых зерен. Это около 9 223 372 036 000 000 000 штук, точное число нам не так важно. Это примерно 153 миллиарда тонн риса, если исходить из того, что один грамм насчитывает около 60 зерен. Этот рис можно погрузить примерно на 31 миллион кораблей, по 5000 тонн на каждый. И это мы высчитали лишь то количество риса, которое должно было прийтись на последнюю клетку доски. На предпоследнюю приходится гораздо меньше – приблизительно 4 611 686 018 000 000 000 (то есть, конечно же, только половина того, что пришлось на последнюю клетку). Таким образом, изобретатель шахмат попросил для себя награду, описать которую как «царскую» было бы бессовестным приуменьшением.
Нас в этой истории интересует не столько хитрость изобретателя шахмат, сколько правитель. Он явно был не в состоянии правильно понять характеристики определенного процесса. «Взрывное» течение развивающегося по экспоненте процесса осталось ему неведомо. И таких «правителей» очень много!
Один из них, а вернее, одна, поскольку речь пойдет о женщине-редакторе, была автором статьи во Frankfurter Allgemeinen Zeitung от 14 сентября 1985 года. В этой очень объективной статье, основанной на собранных материалах, можно было прочесть о распространении СПИДа; о 262 случаях этого заболевания в ФРГ стало известно 2 сентября 1985 года. В середине августа было известно о 230 случаях. К тому времени 109 из заболевших умерли.
Автор заканчивает статью вопросом: «Исчезающе малое количество в сравнении с количеством умерших от рака, погибших в ДТП, от болезней сердечно-сосудистой системы?» Здесь мы снова видим мягкую усмешку индийского правителя: кто станет тревожиться о столь небольшом количестве риса?
Вопросительный знак в конце этого предложения остается единственным, хорошо скрытым намеком на тот аспект эпидемии СПИДа, который был гораздо важнее, чем актуальное количество заболевших, – а именно темпы прироста заболеваемости. То, как обстоят дела в данный момент, на самом деле не так важно, как то, что будет или могло бы быть дальше. В любом процессе характеристики этого процесса гораздо важнее, чем имеющееся положение дел. Однако то, что с процессом лучше обращаться именно как с процессом, а не как с его теперешним состоянием, не всегда бывает ясно.
К моменту выхода статьи прирост заболеваемости СПИДом составлял 130 % в год. Это означает удвоение количества заболевших в течение 0,8322 года, или примерно 10 месяцев. Время удвоения (ВУ) рассчитывается исходя из темпов прироста заболеваемости (П) по формуле:
(1) ВУ = ln(2)/ln(1+П/100),
где темпы прироста заболеваемости (П) указаны в процентах, а ln – это натуральный логарифм.
На рисунке 32 мы видим процесс развития эпидемии СПИДа в ФРГ до 1989 года. К концу 1987 года предположение о приросте 130 % дает вполне хорошие прогнозы. Указанное на рисунке 32 количество больных – это общее число заболевших и умерших в данный период времени, а не только число зарегистрированных случаев болезни.
Рис. 32. Заболеваемость СПИДом в ФРГ до конца 1988 года
К концу 1987 года рост несколько замедлится, но в 1986-м люди едва ли могли это знать.
Эпидемия может иметь постоянный (или почти постоянный) темп прироста заболевших лишь в первое время своего распространения. Позже этот темп должен снизиться; позже я расскажу почему. Досадно лишь то, что в случае со СПИДом едва ли было известно, как долго длится это «первое время». Если бы оно продлилось дольше с приростом заболеваемости 130 %, это имело бы устрашающие последствия! 130 % прироста означает, что через 5 лет было бы 16 863 заболевших, а через 10 лет – 1 085 374!
Количество случаев заболевания при постоянном темпе прироста заболеваемости выражено в формуле:
(2) Кn = Ко × (1+П/100)n
Если за исходную цифру взять 262 случая заболевания, то при темпе прироста заболеваемости 130 % в год получаем:
262 × (1+1,3)10 = 1 085 374.
Формула (2) – это формула с композиционным процентом, которую проходят в школе и по которой можно подсчитать, что сумма 1€, положенная в банк в 1500 году, при процентной ставке всего 3 % к 1987 году выросла бы до 1 785 370€. После таких расчетов хочется, с одной стороны, пожаловаться на ужасную скупость предков, а с другой – усомниться в правильности формулы.
Цифры, рассчитанные при помощи формулы с композиционным процентом, – это больше не пустяковое количество! Они показывают, что в любом процессе необходимо обращать внимание на характеристики этого процесса. Но даже если это делать, все может пойти не так.
Рубрика писем от читателей в газете Zeit от 15 октября 1985 года вышла под заголовком «Только без паники!». Читатели высказались по поводу двух статей о СПИДе в 43-м номере газеты за 1985 год. Заголовок колонки редакция взяла из письма одного читателя, который после собственных расчетов пришел к выводу, что «даже если брать за основу самые плохие прогнозы… с того момента, как о заболевании стало известно, и до 2000 года СПИДом заболеют или умрут от него меньше людей, чем умирают от болезней сердца ежегодно».
Здесь не хватало калькулятора. Ведь, как установил другой читатель, написавший в газету 13 ноября 1985 года, на основании самых плохих прогнозов к 2001 году СПИДом заболеют почти все представители нашего биологического вида – то есть 4,7 миллиарда человек.
Газета Fränkische Tag от 13 декабря 1985 года рассказывает, что к концу ноября 1985 года в ФРГ стало известно о 340 случаях заражения СПИДом. Вдобавок к этому говорилось, что эпидемия «растет со скоростью, которую до сих пор не считали опасной». Спрашивается, откуда взялось это предположение. Если вспомнить о том, что в начале сентября называли число 262 заболевших, то к концу ноября (то есть в течение трех месяцев) случился прирост 30 %, что соответствует ежемесячному приросту 9 % и ежегодному 183 %.
