«Архимед желает здравствовать Досифею… Я перечислю здесь по порядку все теоремы, предложенные мною Конону, а особенно две из них, которые привели меня к неправильному выводу: пусть это будет устрашающим примером того, как люди, утверждающие, будто они умеют доказать всё то, что они предлагают решить другим, но не прилагающие собственных решений этих вопросов, в конце концов принуждены убедиться, что они брались доказать то, что доказать невозможно». Он намекает на безграничную возможность ошибок, связанную с громоздким многословием метода абсурда.

Далее, перечисляя свои теоремы, он в соответствующем месте указывает: «Следующая теорема была неверной, а именно вот что…» и «Не верна также и последняя предложенная мною для доказательства теорема…» В этом же тексте Архимед указывает, где он в своей книге «О шаре и цилиндре» дал правильные доказательства этих теорем.

Неполнота дошедших до нас текстов сочинений

Архимеда, их трудность, увеличивающаяся наличием разночтений между различными рукописными экземплярами, привела к тому, что в литературе существует иная точка зрения на две неверные задачи Архимеда, о которых говорилось выше.

Некоторые считают, что Архимед сознательно включил в число задач, посланных им Конону и, возможно, другим математикам, две неверные, чтобы, как сказано в одном из вариантов текста, «тех, которые утверждают, что они всё открыли, и не приводят никаких доказательств открытого, можно было бы уличить и заставить согласиться с тем, что они открыли невозможное».

У нас нет данных для того, чтобы предпочесть одну из этих точек зрения. Впрочем, это и не входит в нашу задачу.

Итак, Архимед демонстрирует независимость, принципиальность, мужество.

Подобная публичная самокритика была совершенно не принята в античной науке, да и в наши дни она встречается отнюдь не часто.

Архимед отважился на это.

Так почему же он не отваживался обнародовать свой математический метод, которым пользовался столь успешно? Почему не делился им с коллегами, не передавал ученикам, скрывал его?

Только в труде «Квадратура параболы» Архимед чуть приоткрыл читателю свой метод решения математических задач с помощью теории рычага. Но в последующих трудах он уже не допускает даже намёка на путь решения. Как видно, он встретился с возражениями или неодобрением. Словом, что-то произошло. Теперь он поражает нововведениями, не объясняя и не оправдывая их. Так было, например, с четырьмя леммами, на которых Архимед построил свой труд «О коноидах и сфероидах». Он пишет в предисловии, обращенном к Досифею:

«В этой книге я посылаю тебе доказательства теорем, которых недоставало в книгах, посланных к тебе до сих пор. Кроме того, я шлю тебе доказательства некоторых теорем, найденных позже, ибо, несмотря на ряд повторных попыток, прежде мне приходилось отказаться от их доказательства — со столь большими трудностями это было связано. Поэтому-то я не опубликовал этих доказательств вместе с другими. Но позже, когда я засел за них с ещё большим усердием, мне удалось разрешить то, что до сих пор представляло для меня непреодолимые трудности».

Необычность этой ситуации заключается в том, что Архимед строит книгу на якобы бесспорном фундаменте. Ведь лемма — это вспомогательное положение, в отличие от теоремы даваемое без доказательства потому, что оно «очевидно». Лемму и доказывать-то не нужно. И о своих леммах Архимед тоже говорит: «Доказательства всех этих предложений очевидны». Но по своей сути они были далеко не очевидны. И о них никто никогда не слышал.

Их не знал Евклид или другой античный автор. Иначе Архимед, неизменно приводящий ссылки на предшественников, несомненно, указал бы на это.

Из всего сказанного можно сделать лишь один вывод: Архимед пришёл к этим леммам собственным, скрываемым им путем и поэтому был уверен в их справедливости. Но сочинение, в котором он получил свои леммы, он почему-то не опубликовал.

Конечно, такое предположение не основано на дошедших до нас трудах Архимеда. Но биограф Архимеда Гераклид, о котором мы уже упоминали, сообщает, что Аполлония из Перги, знаменитого автора «Конических сечений», обвиняли в плагиате. Гераклид пишет, что Аполлоний якобы присвоил себе неопубликованный труд Архимеда. Такая версия продержалась два тысячелетия и дошла до нас. Вероятно, Архимед работал над коническими сечениями, но не опубликовал своего труда, ибо ни один античный автор на него не ссылается. Не ссылается на него и сам Архимед в дошедших до нас работах. Лишь упомянутые выше леммы позволяют предположить, что этот труд остался неизвестным именно из-за того, что Архимед не хотел сообщать о пути, которым он пришёл к этим леммам.

Такой вывод напрашивается и после знакомства с другими математическими трудами Архимеда.

Учитель Ньютона, профессор Барроу — один из виднейших математиков XVII века, знаток творчества Архимеда, — уверенно утверждает: «Архимед умышленно скрывал метод своих решений».

Но Барроу не знал об одном труде Архимеда, обнаруженном лишь в начале нашего века. Здесь Архимед, в форме послания Эратосфену, изложил свой долго скрываемый метод. Древние авторы, например Герои, упоминая об этом письме, так и назвали его «Эфод» — «Метод». Если раньше у Архимеда были основания скрываться, то что же толкнуло его на признание? Этот шаг был результатом потрясения, которое он испытал, обнаружив одну старую рукопись.

Разыскивая книги по механике, которая продолжала интересовать Архимеда, он наткнулся на труды атомистов. И среди них — на Демокрита.

Архимед искал в них не философские идеи, а сведения о механизмах, возраст которых, как он знал, исчислялся веками. Но, помимо этого, он обнаружил у Демокрита неизвестные ему доказательства теорем о конусе и пирамиде, которые ранее приписывали Евдоксу.

Архимед, конечно, знал формально безупречные, построенные на силлогизмах доказательства Евдокса. Но, как он теперь обнаружил, Демокрит задолго до Евдокса доказал эти теоремы, разрезав мысленно конус и пирамиду на тонкие листки и соединив их между собой. И другие теоремы о площадях и объёмах геометрических фигур атомисты решали, суммируя результаты от деления этих фигур на малые элементы, уподобляемые ими неделимым атомам или амерам. Имея дело с прямой линией, математики-атомисты представляли её как сумму точек-амер. Площадь составляли из прямых-амер. Объём — из площадей-амер.

Сложное из простого — мировоззрение современных материалистов — было также принципом древних материалистов. И то, что сложные фигуры они разрезали на простые, было логичным: их было легче анализировать, сопоставлять, измерять. А потом оставалось проинтегрировать, или, говоря упрощённо, сложить результаты. Такие методы были, конечно, нагляднее и проще витиеватых рассуждений, положенных в основу метода приведения к абсурду.

Для Архимеда эта находка была подобна

Аристотель в своём сочинении «О небе» писал: «Постулируя неделимые тела, Демокрит и Левкипп должны впасть в противоречие с основами математики… Самое маленькое отступление от истины в дальнейшем ходе рассуждения увеличивается в десятки тысяч раз… Введение самой маленькой величины расшатывает великие основы математики».

Амеры, к которым атомисты сводили геометрические построения, казались не в меру строгим философам горой на пути землемера.

Эта точка зрения была даже облечена в форму принципа, определяющего математическое мировоззрение античности: «Все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых».

Архимед же нарушал этот принцип, пользуясь запрещённым методом разделения сложных фигур на элементарные. Вот почему Архимед не пропагандировал свой метод. Вот почему после нескольких робких попыток заявить о нём он замолчал. Понимая огромную мощь этого метода, он втайне пользовался им. Однако при публикации облекал полученные результаты в форму общепринятых доказательств.