К исследователям, изучавшим законы электричества и магнетизма методами математики, следует отнести Г. Гельмгольца. В самом начале своей научной деятельности он опубликовал работу «О сохранении силы». Она вышла в 1847 году вскоре после того, как Майер сформулировал закон сохранения энергии. Эта работа Гельмгольца содержит математическое обоснование закона сохранения энергии. Гельмгольц особо подчеркивал его всеобщий характер, справедливость в области механики и теплоты, электричества и магнетизма, физиологии и электрохимии.

В этой же работе Гельмгольц показал, что индукция электрических токов может быть математически описана на основе электромагнитных опытов Эрстеда, и закона сохранения энергии в электродинамических явлениях, изученных Ампером.

На фоне этих изящных математических исследований мысли Фарадея казались физикам-теоретикам слишком неопределенными. А физики-экспериментаторы считали результаты Фарадея слишком абстрактными.

В это время в науку вошел молодой шотландский физик Джемс К. Максвелл. Его отец, сэр Джон Клерк, принявший фамилию Максвелл, иногда брал сына на заседания Лондонского королевского общества. Во время одного из докладов, посвященных форме этрусских погребальных урн, возникла дискуссия о том, как построить кривую, имеющую правильную овальную форму.

Юноша Джемс решил эту задачу и придумал простое устройство для вычерчивания овалов и эллипсов. Оно применяется и в наши дни. 16 апреля 1846 года профессор Форбс прочитал на заседании общества доклад Джемса Максвелла под названием «О черчении овалов и об овалах со многими фокусами».

В возрасте восемнадцати лет Максвелл провел обширное исследование и сам сделал в Королевском обществе доклад «о равновесии упругих тел». Среди прочего, там была доказана теорема, относящаяся к теории упругости и называемая теперь «теоремой Максвелла». Она связывает силы, действующие в упругом теле, с вызываемыми ими перемещениями.

Писатель Стефан Цвейг как-то высказал мысль о том, что редко кому боги дают возможность совершить более одного великого деяния. Максвелл был одним из редких исключений. Он создал электродинамику и заложил основы кинетической теории газов, выросшей в кинетическую теорию материи.

В 1855–56 годах Максвелл подготовил мемуар «О Фарадеевских силовых линиях».

Позже Л. Больцман, один из крупнейших физиков-теоретиков 19-го века, писал о введении, предпосланном Максвеллом к этой работе. «Оно показывает, как мало он был обязан случайности в своих позднейших открытиях. Более того, оно показывает, что он работал по хорошо обдуманному заранее плану».

Максвелл поставил перед собой цель — изложить физические идеи Фарадея на языке математики. Фарадей был его кумиром. Он восхищался глубиной, на которую Фарадей проник в суть явлений электричества и магнетизма. Проник, основываясь на ясном понимании внутренних закономерностей, проявляющихся в экспериментах, доступных чувственному восприятию.

Весной 1857 года Максвелл направил Фарадею экземпляр своего мемуара, сопроводив его почтительным письмом.

Фарадей ответил: «… Я не благодарю Вас за то, что Вы сообщили о силовых линиях, ибо Вы сделали это в интересах философской правды и из любви к ней». И еще: «… Ваша работа приятна мне и дает мне большую поддержку». Далее Фарадей написал: «Сначала я даже испугался, когда увидел такую математическую силу, примененную к вопросу, но потом изумился, видя, как вопрос выдерживает это столь хорошо».

Не только Фарадею, не владевшему сложной математикой, но и другим физикам того времени «математическая сила», примененная Максвеллом для описания выдающихся опытов и идей Фарадея, казалась трудно доступной.

В работе над мемуаром, излагавшем результаты Фарадея при-помощи математики, потребовавшей двух лет интенсивного труда, Максвелл пришел к системе из двадцати математических уравнений. Они связывали между собой двадцать переменных величин. Эти уравнения содержали в себе все то, что открыли Кулон, Ампер, Био и Савар, Эрстед, Ом и, конечно, Фарадей.

Центральным здесь были линии сил, при помощи которых Фарадей объяснил притяжение и отталкивание электрических зарядов, магнитов и катушек, обтекаемых токами. Здесь содержались электрическая и магнитная индукция, движения магнитов и проводников, несущих электрический ток. Сюда входило возникновение электрических токов за счет энергии механических перемещений магнитов и проводников, обтекаемых электрическим током.

Сам Фарадей придавал большое значение наглядности и, как никто, умел вскрывать глубинную суть и связи явлений и процессов, проявляющихся по-разному в различных опытах.

Фарадей писал: «Экспериментатор, желающий изучить магнитную силу посредством проявления ее магнитными силовыми линиями, поступил бы произвольно и опрометчиво, отказавшись от самого ценного средства, от употребления железных опилок. Пользуясь ими он может многие свойства этой силы, даже в сложных случаях, тотчас показать наглядно, может проследить глазом различные направления силовых линий и определить относительную полярность, может наблюдать, в каком направлении сила эта возрастает, в каком убывает, а в сложных системах может определить нейтральные точки, или места, где нет ни полярности, ни силы, даже если они встретятся внутри сильных магнитов. При их употреблении вероятные результаты видны сразу и могут быть получены ценные указания для будущих опытов».

Максвелл поясняет: «В этом опыте каждый кусочек опилок представляет собой небольшой магнит. Разноименные полюсы, принадлежащие различным зернышкам, притягивают друг друга и сцепляются между собой, и множество опилок прилипает к полюсам магнита, то есть к концам ряда опилок. Этим путем опилки, вместо того, чтобы образовать на бумаге спутанную систему точек, располагаются рядами — зернышко к зернышку, пока не составятся из них длинные волокна, показывающие расположение силовых линий в каждой части поля».

Максвелл подчеркивает, что силовые линии Фарадея не следует рассматривать по отдельности — они представляют целостную систему. Число линий, проходящих через определенную площадку, определяет силу, действующую на эту площадку.

Руководствуясь такими соображениями Фарадей построил теорию, не содержащую математических формул, но обладающую всеми преимуществами, свойственными математическим теориям. Силовые линии Фарадея не являются простыми геометрическими линиями. При работе электрических и магнитных сил силовые линии укорачиваются и раздвигаются в стороны.

Для иллюстрации Максвелл прибегает к аналогии: когда наши мускулы совершают работу — они укорачиваются и становятся толще. Опираясь на эту аналогию, он уточняет модель: силовой линии Фарадея соответствует трубка переменного сечения, заполненная несжимаемой жидкостью.

Максвелл многократно возвращался к объяснению соотношений между его уравнениями и физическим содержанием идей Фарадея.

Мы можем описать это двумя фразами:

— Фарадей создал физическую модель электромагнитного поля, используя для этого наглядную картину электрических и магнитных силовых линий.

— Максвелл считал своей задачей преобразовать физическую модель Фарадея в то, что мы теперь называем математической моделью электромагнитных процессов, являющихся одним из проявлений окружающей нас физической реальности. В общем случае математическая модель это уравнение, связывающее между собой величины, описывающие исследуемый процесс.

Через шестнадцать лет Максвелл в предисловии к «Трактату об электричестве и магнетизме» выразил свою цель такими словами:

«Приступив к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символом. Я также нашел, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и, таким образом, сравнить с методами профессиональных математиков. Так, например, Фарадей видел силовые линии, пронизывающие пространство там, где математики видели центры сил, притягивающих на расстоянии; Фарадей видел среду там, где они не видели ничего, кроме расстояния; Фарадей видел источник и причину явления в реальных действиях, протекающих в среде, они же были удовлетворены тем, что нашли их в силе действия на расстоянии, приписанной электрическим флюидам».