Даже человек, не очень внимательно следящий за новостями, знает о постоянных тревогах разнообразных ведущих экономистов, составителей прогнозов и правительственных чиновников о том, удастся ли сохранить «энергичный» или «здоровый» рост валового внутреннего продукта (ВВП). Эти требования высоких темпов роста опираются на крайне упрощенные ожидания – ожидания бесконечного повторения прошлого опыта, как будто текущий рост ВВП никак не связан с будущими темпами его роста. Иначе выражаясь, экономисты рассчитывают на бесконечный и предпочтительно довольно быстрый, экспоненциальный рост.

Но они выбирают неподходящие метрики для сравнения результатов. Например, в первой половине 1950-х годов рост ВВП США в среднем составлял около 5 % в год, что приблизительно можно выразить как дополнительные $3500 на душу населения (в размере около 160 млн человек) в течение пяти лет. С другой стороны «медленный» рост ВВП в период между 2011 и 2015 годами (в среднем 2 % в год) добавлял около $4800 на душу населения (в размере около 317 млн человек) в течение пяти лет, или почти на 40 % больше, чем 60 лет назад (все цифры в современном денежном эквиваленте для устранения эффекта инфляции). Следовательно, в значениях среднего индивидуального роста благосостояния недавний рост 2 % превосходит более ранний, превышающий его в 2,5 раза. Это простая алгебра, но ее постоянно игнорируют те, кто сокрушается о «низком» росте экономики США или Европейского союза (ЕС) после 2000 года.

Результаты британского референдума 23 июня 2016 года, на котором решалось, оставаться в составе ЕС или выходить из него, являются еще одной прекрасной иллюстрацией того, что скорость изменений имеет большее значение, чем результаты. В 94 % районов, где в период с 2001 по 2014 год совокупность лиц иностранного происхождения увеличилась более чем на 200 %, люди голосовали за выход из Европейского союза, даже если доля мигрантов в этих районах осталась сравнительно низкой, в основном менее 20 %. С другой стороны, большинство районов, где совокупность лиц иностранного происхождения составляла более 30 %, проголосовали за сохранение членства в ЕС. Как заключил журнал Economist, «Британцев волнует не большое количество мигрантов, а высокие темпы перемен» (Economist, 2016).

Прочие прилагательные, используемые для описания роста, являются точными терминами, характеризующими его конкретные траектории, соответствующие (иногда почти идеально, часто довольно точно) различным математическим функциям. Такие точные, даже идеальные, совпадения возможны, потому что большинство процессов роста являются в высшей степени упорядоченными и развиваются в соответствии с ограниченным числом моделей. Естественно, эти траектории имеют множество индивидуальных межвидовых и внутривидовых вариаций для организмов и отмечены исторически, технически и экономически обусловленными отклонениями для инженерных систем, экономики и общества. Три базовые траектории включают линейный, экспоненциальный рост и различные модели ограниченного роста. Линейный рост легко понять и рассчитать. Экспоненциальный рост легко понять, но лучший способ его рассчитать – использовать натуральные логарифмы, для многих являющиеся загадкой. Принцип моделей ограниченного роста, включая логистическую функцию, функцию Гомпертца и функцию ограниченного экспоненциального роста, также легко понять, но их математические решения требуют применения дифференциального исчисления.

Но прежде, чем более подробно рассмотреть отдельные функции роста, их решения и кривые роста, я посвящу два небольших раздела временны́м интервалам и критериям изучения роста. В кратких обзорах я представлю как распространенные, так и реже встречающиеся переменные, рост которых нас интересует как родителей, сотрудников или налогоплательщиков, ученых, инженеров и экономистов или историков, политиков и специалистов по планированию. Их спектр включает такие универсальные вопросы, как вес и рост растущих младенцев и детей и рост национальной экономики. Кроме того, существуют нечастые, но пугающие вопросы, касающиеся распространения потенциально пандемических инфекций, риск которых повышается благодаря массовым авиаперелетам.

Рост – это всегда функция от времени, и в процессе современных научных и инженерных исследований их авторы прослеживают траектории с помощью бесчисленных графиков, где время обычно наносится на ось абсцисс (горизонтальную или ось х), а растущая переменная измеряется на оси ординат (вертикальной или оси у). Конечно, мы можем отслеживать рост (и делаем это) физических или нематериальных феноменов в зависимости от изменений других подобных переменных: мы строим графики зависимости роста детей от изменения их веса или роста реального дохода от роста ВВП, но большинство кривых роста (и в более простых случаях прямых) являются, по определению Джеймса Максвелла, диаграммами перемещений и, по определению Томпсона, диаграммами временно́й зависимости: «У каждой есть начало и конец; и одна и та же кривая может иллюстрировать и жизнь человека, и экономическую историю королевства… Она демонстрирует работу “механизма” и помогает нам видеть аналогичные механизмы в разных областях, поскольку Природа “закольцовывает” свои многочисленные изменения на нескольких простых темах» (Thompson, 1942, 139).

Рост океанической коры или горных хребтов, результат которого обусловлен геотектоническими силами и изучение которого лежит за пределами этой и без того объемной книги, разворачивается на протяжении сотен миллионов лет. Если мы имеем дело с организмами, протяженность рассматриваемого временного интервала является функцией конкретных темпов роста, определяемых длительными периодами эволюции и, в случае одомашненных видов растений и животных, часто ускоренных или усиленных с помощью традиционной селекции и в последнее время также трансгенных вмешательств. Если говорить о росте устройств, машин, структур или любых других продуктов деятельности человека, рассматриваемые временные интервалы зависят как от их долговечности, так и от их адаптивности, способности к усовершенствованию и применению их новых, улучшенных версий в изменившихся обстоятельствах.

В результате рост некоторых артефактов, использовавшихся со времен Античности, сегодня интересен лишь с исторической точки зрения. Хороший пример – парусные корабли. Их развитие и эксплуатация (за исключением тех, что созданы для яхтенного спорта) завершились довольно резко во второй половине XIX века, всего через несколько десятков лет после внедрения паровых двигателей и после более чем пяти тысяч лет совершенствования конструкций. Но другие древние разработки продемонстрировали выдающееся развитие и способность приспосабливаться к требованиям индустриальной эры: строительные и доковые краны являются, пожалуй, лучшими примерами продолжившейся эволюции. Невероятный рост мощности этих древних машин за последние два века позволил использовать их для строительства все более высоких зданий и погрузки-разгрузки все более грузоподъемных кораблей.

Бо́льшую часть организмов биосферы составляют микроорганизмы, грибы и насекомые, и самые распространенные интервалы наблюдения в микробиологии и биологии беспозвоночных животных исчисляются минутами, днями и неделями. Образование бактерий часто происходит быстрее, чем за час. Кокколитофоры, одноклеточные известняк-продуцирующие водоросли, преобладающие в океанической фитомассе, достигают максимальной плотности клеток в среде с пониженным содержанием азота за одну неделю (Perrin et al., 2016). Выращиваемые в коммерческих целях шампиньоны достигают зрелости всего за 15–25 дней после заполнения субстрата (соломы или другого органического вещества) мицелием. Бабочки обычно проводят не более недели на стадии яйца, от двух до пяти недель на стадии гусениц (стадии личинки) и одну-две недели в виде куколки, из которой появляется взрослое насекомое.

У однолетних растений интерес представляют интервалы в несколько дней, недель и месяцев. Урожай самых быстрорастущих растений (зеленого лука, салата-латука, редиса) можно собирать менее чем через месяц после посева; самый короткий период получения зрелого зерна (яровой пшеницы, ячменя и овса) составляет около 90 дней, но озимой пшенице для достижения зрелости требуется более 200 дней; виноградник начнет приносить урожаи только на третий год после посадки. Рост деревьев легко определить по ежегодно образующимся кольцам (вторичный рост за счет камбиальных латеральных меристем): самые быстро растущие виды (эвкалипты, тополя, сосны) можно заготавливать через десять лет (или даже раньше), но в естественных условиях рост может продолжаться десятки лет, и для большинства деревьев его продолжительность может быть неопределенной.