И поскольку степень асимметрии также зафиксирована в асимметрической функции Гомпертца, многие попытки избавиться от этих недостатков ведут к формулированию нескольких дополнительных моделей роста логистического типа. Цуларис (Tsoularis, 2001) рассмотрел эти производные модели – главные из которых были представлены Берталанффи (von Bertalanffy, 1938), Ричардсом (Richards, 1959), Блумбергом (Blumberg, 1968), Тернером и др. (Turner et al., 1976) и Берчем (Birch, 1999), – а также предложил собственную обобщенную логистическую функцию, из которой можно получить все эти модификации. Они не систематизированы в зависимости от практической ценности: все эти функции принадлежат к одной семье (являясь вариациями на тему S-образного роста), и ни одна из них не превосходит другие сигмоидальные кривые с тремя постоянными по степени пригодности.

Фон Берталанффи (von Bertalanffy, 1938) построил уравнение роста на аллометрическом (неравномерном) соотношении между скоростью обмена веществ и массой тела животного, где масса меняется в связи с разницей анаболических и катаболических процессов. Максимальный темп роста функции (точка перегиба) находится на уровне около 30 % (8/27) асимптотического значения и применяется при изучении роста и продукции лесного хозяйства, но особенно в гидробиологии, для коммерческих видов рыбы, таких как треска (Shackell et al., 1997), тунец (Hampton, 1991), а также акул (Cailliet et al., 2006) и даже белых медведей (Kingsley, 1979). Однако Рофф (Roff, 1980, 127) доказывал, что данная функция «в лучшем случае пригодна для отдельных случаев, а в худшем – лишена смысла» и от нее следует отказаться, так как она исчерпала себя в исследованиях рыболовного промысла. Дей и Тейлор (Day and Taylor, 1997) также пришли к выводу, что уравнение фон Берталанффи не следует использовать для моделирования возраста и размера организмов в период зрелости.

Ричардс (Richards, 1959) модифицировал уравнение фон Берталанффи, чтобы оно соответствовало эмпирическим данным о росте растений. Функция, также известная как модель роста Чапмана – Ричардса, имеет на один параметр больше, чем логистическая кривая (необходимый для асимметрии), и широко используется в исследованиях лесного хозяйства, а также для моделирования роста млекопитающих и птиц и для сравнения влияния ухода на рост растений, но имеются и возражения против ее использования (Birch, 1999). Ее точка перегиба колеблется на уровне от менее 40 % до почти 50 % асимптотического значения. Тернер и др. (Turner et al., 1976) называл модифицированное ими уравнение Ферхюльста универсальной функцией роста. Гиперлогистическая функция Блумберга (Blumberg, 1968) также является модификацией уравнения Ферхюльста, предназначенной для моделирования роста размеров органов, а также динамики населения.

И распределение Вейбулла, изначально разработанное для изучения вероятности отказа вследствие изменения свойств материала (Weibull, 1951) и используемое в тестах на надежность в инжиниринге, легко модифицируется для получения гибкой функции роста, которая может дать самые разнообразные сигмоидальные функции роста. Оно используется в лесном хозяйстве для моделирования высоты и объемного прироста отдельных видов деревьев, а также объема и возраста полиморфических лесных насаждений (Yang et al., 1978; Buan and Wang, 1995; Gómez-García et al., 2013). Двумя последними пополнениями по-прежнему растущего семейства сигмоидальных кривых являются новое уравнение роста, разработанное Берчем (Birch, 1999), и уже упоминавшаяся обобщенная логистическая функция Цулариса (Tsoularis, 2001). Берч модифицировал уравнение Ричардса, чтобы оно лучше подходило для универсальных имитационных моделей, особенно для представления роста различных видов растений с отличающимися вегетационными периодами, тогда как Цуларис (Tsoularis, 2001) предложил уравнение обобщенного логистического роста, включающее все прежде использовавшиеся функции в качестве особых случаев.

Логистические кривые являются любимым инструментом специалистов по прогнозам благодаря их способности отражать, часто очень точно, траектории роста как живых организмов, так и антропогенных артефактов и процессов. Конечно, с их помощью можно сделать ценные открытия, но в то же время я должен предостеречь от излишнего энтузиазма при использовании логистических кривых в качестве инструментов прогнозирования отказоустойчивости. В своем вердикте Ноэль Бонней (Noel Bonneuil, 2005, 267) вспоминал «золотой век логистической кривой, когда Перл с энтузиазмом применял одну и ту же функцию к любому случаю роста, от длины хвостов крыс до данных переписи населения США» и развенчал заявления об удивительно точном применении этой модели к историческим данным, назвав их «сомнительным триумфом: большинство процессов ограниченного роста действительно напоминают логистические, но это мало способствует пониманию исторических процессов… Подбор кривых слишком часто вводит в заблуждение по двум направлениям: его не только не следует использовать в качестве эмпирического доказательства, но он может скрывать важные детали».

Очевидно, что применение этих кривых для долгосрочного прогнозирования не гарантирует успеха. Их использование может давать новые идеи и обеспечивать представление о пределах, и в этой книге я представлю примеры из прошлого, когда прогнозы оказывались очень точными и могли служить надежным признаком ближнесрочного роста. Но в других случаях даже высокоточное логистическое соответствие прошлых траекторий приводило к обманчивым выводам о предстоящем росте, а ошибки прогнозов превосходили ожидаемые и приемлемые ±10–25 % отклонений за период в 10–20 лет.

В один из первых обзоров логистических трендов, опубликованных в конце Второй мировой войны, Харт (Hart, 1945) включил данные о скорости самолетов в период между 1903 и 1938 годами: эта траектория очень близко соответствовала логистической кривой с точкой перегиба в 1932 году и максимальной скоростью около 350 км/ч, но за десять лет после этого технический прогресс дважды опроверг его вычисления. Во-первых, рост мощности поршневых двигателей (на которых работали самолеты в военное время) достиг практических пределов, и вскоре их стали применять в пассажирских авиаперевозках. Самолет Lockheed L–1049 Super Constellation, впервые поднявшийся в воздух в 1951 году, имел крейсерскую скорость 489 км/ч и максимальную скорость 531 км/ч, что примерно на 50 % выше предсказанной логистическим потолком Харта.

Рис. 1.15. Самолет, поднявший потолок логистического роста крейсерской скорости: Boeing 707. Изображение из wikimedia

Super Constellation стал самым быстрым трансатлантическим авиалайнером, но его господство было недолгим. Злополучный британский самолет de Havilland Comet совершил свой первый полет в январе 1951 года и был снят с производства в 1954 году, а первый рейс реактивного Boeing 707, принадлежавшего американской компании Pan Am, состоялся в октябре 1958 года (Smil, 2010b; рис. 1.15). Турбореактивные двигатели, первые газотурбинные двигатели, увеличили крейсерскую скорость пассажирских самолетов (начавших летать в 1919 году) более чем вдвое по сравнению с периодом до Второй мировой войны и создали новую логистическую кривую с точкой перегиба в 1945 году и асимптотой в районе 900 км/ч (рис. 1.16). Более мощные и эффективные турбореактивные двухконтурные двигатели впервые были представлены в 1960-х годах и позволили увеличить размер самолетов и снизить потребление топлива, но их максимальная крейсерская скорость практически не изменилась (Smil, 2010b).

Рис. 1.16. Логистическая кривая, отражающая рост крейсерской скорости пассажирских авиалайнеров в период с 1919 по 2039 год (точка перегиба в 1945 году, асимптотическая крейсерская скорость 930,8 км/ч). Построена на основе данных о скоростях конкретных самолетов, начиная с de Havilland DH–16 компании KLM в 1919 году и заканчивая Boeing 787 в 2009 году