Видимо, понимая значимость своего изобретения, последний год жизни Непер отдал подготовке к печати завершающего творческий путь трактата – «Рабдология, или Две книги о счете с помощью палочек». В «Рабдологии…» Непер описал способ перемножения чисел посредством особых брусков-палочек с нанесенными на них цифрами, они внешне похожи на кости домино, но с большим числом полей на каждом из них. Идея автоматизации с помощью заранее размеченных палочек явно восходит к одному из древнейших способов умножения, который назвался gelosia. Сегодня никто не задумывается о внутренней сложности этого арифметического действия, даже словосочетание «способ умножения» звучит как-то странно, ведь единственный известный большинству алгоритм «в столбик» проходят в первом классе.

Алгоритм gelosia по-своему очень изящен, суть его в том, что сомножители записываются справа и сверху от специальной счетной матрицы, состоящей из полей-квадратов, каждый из которых разделен диагональю, а совместно расположенные по диагонали треугольники образуют «косые» строки-столбцы. Итак, сверху и справа записывают сомножители, а промежуточные произведения каждой пары разрядов, от единиц до самого старшего, записывают в квадраты, разделяя внутри каждого единицы и десятки, единицы в нижний треугольник, а десятки – в верхний. При суммировании «по косой» получается результат, его нужно читать сверху вниз и слева направо.

Предложенная Непером идея на первый взгляд очень проста: нужно разрезать таблицу на столбцы и выполнять действия, подбирая нужные палочки в соответствии с составом числа. Естественно, что для «ввода» числа в наборе должно быть больше палочек, цифры могут повторяться. Таким образом, умножение становится тривиальной задачей, но этим потенциал палочек не исчерпывается, с ними можно выполнять и деление, и возведение в степень, и извлечение корня, опираясь на сложение и вычитание логарифмов.

Реализация идеи Непера тоже была несложной, нужно разрезать таблицу на столбцы и выполнять действия, подбирая нужные палочки в соответствии с составом числа. Палочкам Непера суждена была долгая жизнь, они стали прообразом логарифмической линейки, ставшей классическим инженерным инструментом XIX и XX веков, а в Великобритании вплоть до середины 60-х годов палочки Непера применялись для обучения школьников арифметике.

Через десять лет после опубликования «Рабдологии…» профессор восточных языков Вильгельм Шиккард из Тюбингенского университета изобрел механизм, упрощающий работу с палочками, который был описан им в переписке с Иоганном Кеплером. Как известно, письма были в ту пору единственной формой публикации. Была ли эта машина построена или нет, сейчас сказать сложно, но во всяком случае это была первая математически обоснованная модель калькулятора. Сейчас в Германии воссоздано несколько работоспособных образцов механизма Шиккарда.

Каспар Шотт – немецкий математик и физик смог сделать устройство, адаптированное к приложениям на основе Палочек, названное им Organum Mathematicum и описанное им в одноименной книге в 1668 году.

Орган состоит из 9 секций по 24 палочке в каждой:

•      Арифметическая – набор традиционных палочек Неппера

•      Геометрическая – упрощает вычисление геометрических характеристик

•      Фортификационная – служит для расчета размеров крепостных сооружений

•      Хронологическая – предназначена для вычисления даты Пасхи и других церковных праздников

•      Хроногафическая – для поддержки солнечных часов

•      Астрономическая – содержит данные о продолжительности дня и ночи, время восхода и заката и подобное

•      Астрологическая – данные о движении планет и созвездий

•      Криптографическая – для кодирования и декодирования текстов с использованием циклических шифров

•      Музыкальная – содержит отдельные музыкальные фразы, которые можно сочетать

Как и многие аналогичные устройства Орган широкого распространения не получил, но несколько неавторских экземпляров сохранились и демонстрируются в европейских музеях.

Логарифмическая линейка – рекордсмен по долгожительству в мире вычислений. Еще тридцать-сорок лет назад она была обязательным атрибутом инженерной деятельности. Предпосылкой к созданию стала логарифмическая шкала Гюнтера (Gunter’s line of numbers), названная именем Эдмунда Гюнтера, заметившего, что умножение можно заменить сложением логарифмов множителей с использованием логарифмической шкалы. Это можно сделать двумя циркулями-измерителями, измерив ими оба отрезка, соответствующие множителям, а потом сложить на логарифмической шкале и прочитать произведение, способ приближенного умножения быстро распространился по всей Европе. Так был сделан шаг от сектора к линейке.

Создание логарифмической линейки, упрощающей пользование шкалой Гюнтера, связывают с именем английского математика Ульяма Отреда, он предложил конструкцию в виде пары вращающихся дисков (Circle of proportion) в 1630 году. В книге «Круги пропорций», вышедшей в Лондоне в 1632 году, было дано описание круговой логарифмической линейки, в вышедшей через год книге «Дополнение к использованию инструмента, называемого «Кругами пропорций»» описана прямоугольная логарифмическая линейка.

Идея простейшей механизации пользования шкалой Гюнтера, видимо, витала в воздухе, потому что приоритет Отреда оспаривали несколько человек, а том числе и учитель Ричард Деламейн. Весьма показательная ситуация, неоднократно повторявшаяся в истории компьютинга.

Линейка постоянно совершенствовалась, а когда за нее взялся Джеймс Уатт, более известный как изобретатель паровой машины и автоматического регулятора, она приобрела вид близкий к тому, в котором она просуществовала почти три века. Единственное радикальное дополнение в ее конструкцию внес французский артиллерист Амадей Манхейм в 1850 году. Что же касается конкретных исполнений, то линейка дала колоссальный простор для творчества.

Производство линеек прекратилось только во второй половине 70-х годов, количество же выпущенных измеряется сотнями миллионов штук. Материалом для них служило дерево, пластик, дерево, покрытое пластиком, различные металлы. Подавляющее большинство составляли классические прямоугольные конструкции, гораздо меньше круглых и цилиндрических, есть и экзотические экземпляры в том числе с электрическим приводом. Обычно размер линейки находился в пределах от 5 до 50 сантиметров, хотя были и большие настенные демонстрационные, предназначенные для учебных целей. Сегодня линейки стали предметом коллекционирования, наиболее крупные коллекции насчитывают сотни экспонатов. В 2005 году в Стэнфордском университете, одном из ведущих мировых центров компьютерной науки прошла мемориальная выставка с символическим названием «Взлет и падение логарифмической линейки: 350 лет математического калькулятора». Она подытожила долгую жизнь этого несложного, но бывшего столь необходимым человечеству инструмента. В экспозиции были представлены фотографии двух конструкторов – Сергея Королева и Вернера фон Брауна, на них и тот, и другой держат в руках линейки, причем одной и той же немецкой фирмы и одной модели.

Абак стал первым цифровым счетным устройством и пребывал в этом качестве несколько тысяч лет до изобретения Паскалем сумматора. Но для начала несколько слов из собственных воспоминаний, связанных с абаком. Мой приятель, работавший геодезистом на прокладке трасс для автомобильных дорог в Афганистане еще до войны, в начале 70-х, по возвращении в Москву поведал строго по секрету об одном эпизоде. К ним в камералку (помещение для камеральной обработки материалов, собранных во время экспедиции) как-то заглянули работавшие по соседству американцы и обнаружили, что русские коллеги вполне успешно справляются с обработкой измерений, используя счеты (углы и высоты нужно только складывать и вычитать). При виде этого архаичного инструмента раздались крики: «Абак! Абак!», восхищению гостей не было предела – они тут же послали гонца в свой лагерь, и он в обмен на одни (!) счеты привез целую упаковку невиданных тогда в СССР электронных калькуляторов.