Древнеегипетская система счисления намного старше римской, она возникла во второй половине III тысячелетия до н.э. и тоже была десятичной и аддитивной, но в отличие от римской она допускала только сложение, вычитания в ней не было. Для нумерации здесь использовались специальные символы – один для единиц, другой десятков и далее для сотен, тысяч и далее вплоть до миллиона. Внутри каждого разряда система была унарной. За годы существования символы менялись неоднократно, обычно в сторону упрощения.

Вавилонская система на тысячу лет моложе египетской, нумерация здесь адаптирована к ограничениям клинописи, поэтому символов всего два – вертикальный и горизонтальный клинья, из-за такого ограниченного разнообразия в нумерации она достаточно сложна, но ее можно назвать условно шестидесятеричной и еще более частично позиционной. Вавилоняне в математике продвинулись дальше египтян, например, они умели решать квадратные уравнения чему способствовала более удобная квазипозиционная нотация в сочетании с двумя системами счисления– шестидесятеричной и десятичной. Они первыми заметили, что можно применять одни и те же символы, если они будут занимать в записи соответствующее положение. Еще они усовершенствовали свою позиционную систему введением нуля. Перед нами первый и единственный прецедент упрощенной позиционной системы счисления, существовавший до прихода нынешней индийской системы.

В Древней Греции сосуществовали две основные системы записи чисел – аттическая и ионическая, в первой использовалась близкая к десятичной система счисления, а во второй десятичная, но и та, и другая с современной точки зрения были чрезвычайно замысловатыми. В непозиционной аттической записи число 5 служило промежуточным подоснованием системы счисления. Черта, обозначала единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех, а пятью служил символ Г, для 10 – символ D, для 100 – символ H, для 1000 – X, для 10000 – символ. Ионическая запись – алфавитная с десятичным основанием и частично позиционная, в ней использовались буквы греческого алфавита и три вспомогательных знака. Греки заимствовали вавилонские принципы позиционности: первые девять букв соответствовали цифрам первого разряда, вторые девять букв – второго, третьи – первым девяти целым кратным числа десять.

Архимед развил ионическую запись, придумав схему октад (классов), схожую по использованию показателей степени числа 10 в современной системе записи чисел. В ней и в позже скопированной с нее славянской системе счисления для нумерации использовался практически весь алфавит, одни буквы служили для цифр в пределах десятка, другие для десятков в пределах сотни и т.д. Эта запись была чрезвычайно сложна и неудобна. Славянская Цифирь использовалась нашими предками в древней Руси с десятого века, букве «Азъ» соответствовала единица, «Буки» – двойка и так далее. Она вышла из употребления в 1725 году и была заменена на арабские цифры по указу Петра I.

Мультипликативная система счисления в зачаточном виде появилась в Древнем Вавилоне, но в современным преставлении этот подход к записи чисел был изобретен в Китае, а потом усовершенствован в Индии. В разных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна, в ней в качестве цифр использовали начальные буквы соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите. Из Индии этот способ записи чисел перекочевал на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь его назвали арабским, и под этим именем он разошелся по всему миру, хотя надо иметь в виду его индийские корни. Решающую роль в распространении индийской нумерации и десятичной системы счисления в арабских странах сыграла деятельность Мухаммада ибн Муса аль-Хорезми и руководство, составленное им в начале IX века. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает распространение в Италии, и других странах она была принята к XVI веку.

Создание используемой всем человечеством позиционной системы записи чисел, сочетающей индийскую десятичную систему счисления и нумерацию арабскими цифрами, стало одним из величайших фундаментальных достижений в истории человечества. Сначала использовали Восточные арабские цифры, в странах Ближнего Востока их можно встретить, например, на часах, как у нас римские цифры, они приобрели свой близкий к современному вид в IX веке. Наряду с ними существуют Западные арабские цифры и Современные арабские цифры. В период мавританского владычества на Пиренеях арабские цифры проникли в Европу. Более древняя история арабских цифр имеет многочисленные трактовки, сопровождается различными мифами, достоверно можно сказать только то, что своими корнями они уходят в Индию. В контексте истории компьютинга существенен европейский период, когда арабские цифры и десятичная система счисления заняли монопольное положение. Впервые они упоминаются в Вигиланском кодексе, иллюстрированном собрании документов вестготского периода в Испании. Главными действующими лицами, повлиявшими на принятие европейцами новой системы записи были Папа Сильвестр II и виднейший математик Средневековой Европы Леонардо Пизанский более известный как Леонардо Фибоначчи. Путешествуя по Средиземноморью, Фибоначчи изучал достижения античных, индийских и арабских математиков, что позволило ему написать несколько математических трудов, заложив основу западноевропейской науки. Его усилиями позиционная система укрепилась в Европе и обрела популярность в Эпоху Возрождения. Процесс перехода на новую нотацию был непростым, он встречал заметное сопротивление, решающее влияние на укрепление арабских цифр оказало книгопечатание с его требованиями к стандартизации символов.

Археологические исследования в Древнем Египте, Греции, Месопотамии свидетельствуют о том, что первые средства для упрощения расчетов были рукописными, такие методы, известны большинству из нас (сложение и умножение столбиком, деление уголком), они сохранялись до самого последнего времени, до появления электронных калькуляторов, ныне встроенных в любые мобильные устройства. В древности рукописные приемы совершенствовались, они принимали те или иные формы в зависимости от конкретной культуры и принятых в ней традиций.

Сохранились сведения о многочисленных способах умножения, среди них древнейший, он известен как Квадрат Пифагора, есть множество различных «национальных» способов умножения: Китайский, Итальянский, Индийский. Египетский и даже Русско-крестьянский. Особый интерес представляет метод умножения, который назывался gelosia, изобретенный в Индии и в XIV веке пришедший в Европу при посредничестве персов и арабов. Он описан в книге Summa de arithmetica францисканского монаха Лука Пачоли, одного из создателей современной бухгалтерии и близкого друга Леонардо да Винчи. Труд был опубликован в 1494 году, он содержит свод математических знаний эпохи Возрождения, содержащий главы, посвященные практической арифметике, основам алгебры и геометрии, а также бухгалтерского учета. Суть алгоритма гелосия в том, что сомножители записываются справа и сверху от специальной счетной матрицы, состоящей из полей-квадратов, каждый из которых разделен диагональю, а совместно расположенные по диагонали треугольники образуют «косые» строки-столбцы. При суммировании «по косой» получается результат, его нужно читать сверху вниз и слева направо. Этот алгоритм смог механизировать Джон Непер с помощью изобретенных им палочек.

С делением дело обстояло сложнее, специальный знак косая черта «/» впервые использовал в 1600 году английский математик Уильям Отред более всего известный изобретением логарифмической линейки. Альтернативный ему знак двоеточия «:» предложил немецкий математик Лейбниц почти на полвека позже. В Европе примерно до 1600-х годов был популярен метод деления галерой (метод зачеркивания, galley), возникший на основе китайского и индийского методов. Он упоминается у аль-Хорезми в работах 825 года, у Луки Пачоли. О том как он был сложен говорит итальянская поговорка «Трудное дело – деление» (Dura cosa e la partita). Используемый сегодня метод деления уголком имеет множество национальных вариантов, по-английски его называют long division в отличие от short division, который вопреки названию не короче и не проще. Метод известен с XII века, но в практику его ввел английский математик Генри Бриггс в начале XVII века.