Физический смысл постоянной радиоактивного распада λ, введенной Резерфордом и Содди, можно прояснить следующим образом. Положим в соотношениях (1.8) A/A₀ = N/N₀ = I/I₀ = 0,5. Время, протекшее c момента произвольно выбранного начала отсчета (при t = 0 A = A₀, N = N₀, I = I₀) до момента достижения указанного состояния, называется периодом полураспада и обозначается: t(A/A₀ = N/N₀ = I/I₀ = 1/2) = T_1/2

Отсюда следует:

.

Или, что то же самое:

.

После логарифмирования (в системе натуральных логарифмов) обеих частей последнего равенства получаем соотношение: ln2 = λT_1/2, откуда следует:

Если положить в общем случае A/A₀ = N/N₀ = I/I_o = 1/n (рассматривать уменьшение начальной активности и начального числа ядер не в два раза, а в n раз), то λ = lnN/T_1/n. Допустим, что n = e (основание натуральных логарифмов). Тогда очевидно, что

постоянная радиоактивного распада равна обратному значению отрезка времени, по истечении которого активность радионуклида и число нераспавшихся ядер уменьшаются в e раз. Это время на языке физической статистики называют средним временем жизни атома радиоактивного вещества.

Среднее время жизни равно сумме времен существования всех атомов, деленной на их начальное число (N_o при t =0). Поскольку N является очень большим числом, то эту сумму можно заменить эквивалентным интегралом, полагая N непрерывной функцией от t (как и было принято выше).

Число атомов, распадающихся в промежуток времени между t и t + dt, равно λNdt =λN_oe ^{– λt}dt. Эти атомы имеют продолжительность жизни t. Следовательно, общая продолжительность жизни всех атомов данной группы будет равна t λ N₀ e ^{– λt}dt.

Суммарную продолжительность жизни (τ) всех N₀ атомов можно получить, проинтегрировав полученное выражение по t в пределах от 0 до ∞

и поделив его на N₀:

откуда следует, что τ = T_{1/e =} 1/λ .

Таким образом, используя соотношения (1.10), (1.13) – (1.15), можно разносторонне интерпретировать физический смысл λ :

Из последнего равенства (λ = A/N) следует, что λ можно истолковать как меру, определяющую число актов распада, в единицу времени приходящееся на один атом (атомное ядро) в среднем. Эта мера и есть вероятность распада в единицу времени в собрании N атомов (ядер) в расчете на один атом (ядро).

Отсюда видно, что размерность величины λ – обратные секунды (с ^{– 1}). Табулируют значения констант радиоактивного распада обычно в этих единицах, но гораздо чаще прибегают к понятию «период полураспада» как к интуитивно более понятной величине. При этом выражают его в привычных и обозримых единицах, – от долей секунды до нескольких миллиардов и более лет.

Статистическое обоснование закона радиоактивного распада было предложено Э. Фон Швейдлером в 1905 году. Как только что было выявлено, каждое радиоактивное ядро имеет определенную вероятность распада, а константа λ и есть величина вероятности этого события. Можно показать, что из такого толкования радиоактивности непосредственно следует эмпирически установленный Резерфордом и Содди экспоненциальный закон распада.

Допустим, что вероятность испытать распад в течение некоторого промежутка времени Δt для всех ядер данного радионуклида равна величине w_Δt, которая пропорциональна только этому промежутку времени Δt, т.е. w_Δt = kΔt, где k – коэффициент пропорциональности. Вероятность же пережить этот промежуток времени (т.е. не распасться), как вероятность противоположного события, будет равна 1 – w_Δt = 1 – kΔt. Вероятность

пережить некоторый больший промежуток времени t₁ = hΔt, где h – произвольное число, будет уже вероятностью сложного события (наступление h раз события, вероятность которого равна 1 – kΔt). Эта вероятность в соответствии с теоремой об умножении вероятности выразится следующим образом: w_t1 = (1 – w_Δt)^h = (1 – kΔt)^h.

Прологарифмируем это равенство: lnw_t1 = hln(1 – kΔt).

Пусть при постоянном значении t₁ = hΔt Δt стремится к 0. Тогда, полагая слагаемое kΔt величиной, пренебрежимо малой по сравнению с единицей, разлагая в ряд ln(1–kΔt) по малому параметру и ограничиваясь линейным членом разложения, получим:

Потенцируя это выражение и полагая, что в силу произвольности выбора отрезка времени t₁ индекс «1» не имеет значения, получим:

С другой стороны, вероятность атому (ядру) не распасться в течение времени t можно оценить как отношение числа «благоприятных» исходов к их общему числу (в течение времени t каждому атому можно поставить в соответствие только два исхода: он либо распадется, либо не распадется; последний исход и назван здесь «благоприятным»).

Иными словами, если в момент времени, выбранный как начальный (t = 0), существовало N₀ атомов радионуклида, то математическое ожидание числа атомов или среднее число атомов, не распавшихся за время t, будет равно:

а это и есть одно из выражений закона радиоактивного распада (1.9); кроме того, становится очевидным, что коэффициент пропорциональности k, связывающий вероятность ядру испытать распад в течение промежутка времени Δt с его величиной, совпадает с константой радиоактивного распада λ как по статистическому смыслу, так и вследствие изоморфизма уравнений (1.9) и (1.17).

Таким образом, k = w_Δt/Δt≡ λ ≡ A/N, что обсуждено выше (1.16).

1.3.5. Связь активности с массой

В химии гравиметрия («весовой анализ») является арбитражным аналитическим методом. Какими бы ни были методы анализа, применяемые в настоящее время (сейчас получили распространение физико-химические и физические методы), все они так или иначе, применительно к задачам количественного анализа, сводятся к необходимости использовать некоторые исходные вещества в качестве эталонов. Последние могут быть изготовлены с использованием, в конечном итоге, аналитических весов.