Графически установление векового равновесия для "генетической пары" изображено на рис.1.2.

Рис.1.2. Вековое радиоактивное равновесие при Т₁>>Т₂ : 1 – суммарная активность; 2 – активность дочернего радионуклида; 3 – активность материнского радионуклида.

Кинетика установления этого состояния однозначно описывается уравнениями (1.21), которые можно представить в более наглядной форме:

где n = t/T₂ – протекшее время, выраженное в единицах периода полураспада дочернего радионуклида. Очевидно, что уже при n = 6 расхождение между A₂ и A₁ составляет всего лишь 1,56%, а при n = 10 менее 0,1%. Таким образом, для "генетической пары" необходимым и достаточным условием наступления векового равновесия является неравенство λ₂ >> λ₁ (Т₂<<Т₁) и практически незначимое уменьшение активности материнского радионуклида в технологическом масштабе времени, A₁ H const (материнский радионуклид должен быть настолько долгоживущим, чтобы оправдалось понятие "векового" равновесия). С погрешностью 1,56 % это равновесие наступает по истечению уже шести периодов полураспада дочернего радионуклида и выражается в равенстве активностей и практической независимости их от времени в технологическом масштабе.

1.3.8. Радиоактивные семейства ("цепочки") с произвольным числом генетически связанных радионуклидов

Решение этой задачи для семейства, состоящего из n радионуклидов, было дано Бейтманом в 1910 г. для случая: t = 0; N₀₂ = N₀₃ = … = N_0n = 0, т.е. для случая, когда в начальный момент времени существует только радиохимически чистый материнский радионуклид N₀₁ ≠ 0 ("родоначальник семейства") :

Здесь

– порядковый номер радионуклидa в семействе.

Из общей закономерности (1.25) можно вывести несколько упрощенных принципов:

1) Если в ряду радиоактивных превращений два относительно долгоживущих радионуклида (№ p и № q; T_p>T_q; λ_p < λ_q) отделены друг от друга несколькими актами распада и промежуточные радионуклиды (№ x; p<x<q) имеют гораздо большую вероятность распада, чем эти два (T_x << T_q), то радиоактивное равновесие в данном подсемействе (от № p до № q) будет определяться константами только этих двух радионуклидов (т.е. λ_p, λ_q).

Например, в природном подсемействе:

вполне допустимо рассматривать эволюцию Th-228, учитывая только Ra-228, так сказать "через голову" Ac-228. Присвоив индексы Ra-228–1; Ac-228–2; Th-228–3, получим:

Очевидно, что при любом числе промежуточных членов подсемейства "p^…q", константы которых удовлетворяют неравенству T_x<<T_q или λ_x>> λ_q , вывод будет тем же.

2) Если ряд (семейство, подсемейство) радиоактивных превращений возглавляется долгоживущим радионуклидом, таким, что A₁Hinv(t) в технологическом масштабе времени и λ₁ << λ_k , где k– порядковый номер любого члена этого ряда, то в таком ряду может наступить вековое равновесие материнского радионуклида с любым членом ряда: A₁ = A₂ =… = A_k =…

3) Если установилось вековое радиоактивное равновесие между головным радионуклидом (родоначальником семейства) и другим членом ряда (№ z), период полураспада которого (T_z) уступает только родоначальнику семейства (T_z < T₁), но больше периода полураспада любого другого члена семейства (T_z > T_k), то можно сказать, что всё семейство и подавно находится в состоянии векового равновесия.

1.3.9. Природные радиоактивные семейства

Вскоре после открытий А. Беккереля, супругов Кюри, исследований Э. Резерфорда и других их современников и последователей выяснилось, что некоторые индивидуальные природные радиоактивные вещества находятся в «родственных» отношениях. Так, например, было установлено, что радон образуется при распаде радия, но и сам распад радона приводит к образованию некоторых не газообразных радиоактивных осадков. Дальнейшие подробные исследования минерального сырья, содержащего уран и торий, и соединений этих элементов позволили обобщить, казалось бы, разрозненные сведения о природной радиоактивности и сформулировать представление о трех природных радиоактивных семействах (рядах). Родоначальники этих семейств соответственно следующие радиоактивные изотопы: ²³⁸U, ²³⁵U и ²³²Th.

В результате последовательных α– и β-распадов эти радионуклиды в конце концов порождают стабильные изотопы свинца с массовыми числами 206, 207 и 208 (Интересно отметить, что природный свинец состоит из четырех стабильных изотопов с массовыми числами 204 (1,48%), 206 (23,6%), 207 (22,6%) и 208 (52,3%). При этом вероятно, что Pb-204 является α-излучателем с исключительно большим периодом полураспада (порядка 10¹⁷ лет). Таким образом, практически весь (98,5%) природный свинец имеет радиогенное происхождение, тем более, что кроме этих стабильных нуклидов известны еще четыре радиоактивных, входящих в природные семейства, с массовыми числами 210, 211, 212 и 214)..

Таким образом, члены каждого ряда генетически связаны друг с другом, а их массовые числа отвечают следующим формулам: 4n для ряда тория, 4n +2 для ряда урана-238 и 4n+3 для ряда урана-235 вследствие того, что при α-превращении ядро с массовым числом (м.ч.) A образует новое ядро с м.ч. = А – 4, а при β-распаде возникает изобар, т.е. м.ч. не изменяется. На этом основании можно быстро отнести любой радионуклид из этих семейств к своему ряду, проделав простейшее вычисление. Например, можно поинтересоваться, в какие семейства входят следующие изотопы радия: ²²⁶Ra, ²²³Ra, ²²⁴Ra и ²²⁸Ra? Очевидно, что 226 = 4 • 56 + 2; 223 = 4 • 55 + 3; 224 = 4 • 56 и 228 = 4 • 57.

То есть, первый радионуклид входит в семейство урана-238 (его часто и называют семейством урана–радия, т.к. именно радий-226 и был открыт супругами Кюри в урановой руде), второй принадлежит ряду урана-235, а два последних изотопа являются членами семейства тория (см. рис. 1.3. – 1.5.).

Семейства 4n+1 как природного ряда не существует, хотя искусственными методами в разное время были получены радионуклиды, взаимные превращения которых (При этом не следует забывать, что все самопроизвольные процессы радиоактивных превращений (распада) являются необратимыми.) логически укладываются в схему ряда 4n+1. Из всех известных на сегодняшний день наиболее долгоживущих искусственных радионуклидов этой формуле массового числа соответствует ²³⁷Np, который и «назначен» родоначальником этого семейства (впервые это было сделано Г. Сиборгом в 1948 году). Этот ряд в известной степени виртуален, т.к. на Земле скорей всего нет такого места, где члены данного семейства присутствовали бы практически полностью, хотя бы и в состоянии нарушенного равновесия, как, например, члены первых трех рядов в урановых и ториевых минералах «солидного» возраста. Даже если проанализировать какой-нибудь самый старый образец, содержащий ²³⁷Np (а он был получен не раньше 1940 года, когда были синтезированы ядерно-физическими методами первые радионуклиды нептуния Макмилланом и Эйблсоном), то в нем ни при каких обстоятельствах вековое равновесие не могло состояться, т.к. второй по значимости периода полураспада искусственный изотоп урана, входящий в это семейство, ²³³U, имеет T_1/2 = 1,59 • 10⁵ года.