В математике есть последовательность натуральных чисел, шагающих, словно крошечные целеустремленные солдаты, в бесконечность. Но Абдул Карим знает, что существуют и менее очевидные бесконечности. Нарисуйте прямую, отметьте на одном конце ноль, а на другом – цифру один. Сколько чисел поместится между нулем и единицей? Если начнете считать прямо сейчас, будете считать до тех пор, пока Вселенной не наступит конец, и даже не приблизитесь к единице. По пути вам встретятся рациональные числа и иррациональные, а главное, трансцендентные. Трансцендентные числа – самые удивительные: их нельзя получить из целых чисел путем деления или решения простых уравнений. Однако в последовательности одноразрядных чисел встречаются непроходимые заросли трансцендентных: это самые плотные, самые многочисленные из всех чисел. Они появляются, лишь когда вы берете определенные отношения, например, длины окружности к ее диаметру, или складываете бесконечное число слагаемых в ряду, или преодолеваете бессчетное множество членов последовательностей бесконечных непрерывных дробей. Самое знаменитое из них, конечно, пи, 3,14159…, в котором после десятичной запятой следует бесконечное число неповторяющихся цифр. Трансцендентные числа! В их вселенной бесконечностей больше, чем мы можем себе представить.

В конечности – в маленьком отрезке числовой прямой – кроется бесконечность. Какая глубокая, красивая идея, думает Абдул Карим. Возможно, в нас тоже есть бесконечности, целые вселенные бесконечностей.

Простые числа также занимают Абдула Карима. Атомы целочисленной арифметики, избранники, из которых складываются все остальные целые числа, как буквы алфавита складываются в слова. Существует бесконечное множество простых чисел, и они достойны считаться алфавитом самого Бога…

Как невыразимо загадочны простые числа! Кажется, они случайно разбросаны по численной последовательности: 2, 3, 5, 7, 11… Нет способа предсказать следующее число без проверки. Ни одна формула не даст все простые числа. И тем не менее им присуща таинственная регулярность, которую не смогли уловить величайшие математики мира. Замеченная Риманом, но так и не доказанная, эта упорядоченность столь глубока, столь совершенна, что мы пока не готовы ее понять.

Поиск бесконечности в очевидно конечном мире – можно ли найти более благородное занятие для человека, особенно такого, как Абдул Карим?

В детстве он расспрашивал взрослых в мечети: «Почему говорят, что Аллах одновременно един и бесконечен?» Повзрослев, прочел труды Аль-Кинди и Аль-Газали, Авиценны и Икбала, но его беспокойный ум так и не нашел ответов. Большую часть своей жизни он считал, что ключ к глубочайшим тайнам кроется не в философских спорах, а в математике.

Знают ли его постоянные спутники, фаришты, ответ, который он ищет? Иногда, заметив одну краем глаза, он молчаливо задает вопрос. Не оборачиваясь. Верна ли гипотеза Римана?

Молчание.

Являются ли простые числа ключом к пониманию бесконечности?

Молчание.

Существует ли связь между трансцендентными и простыми числами?

Нет ответа.

Но изредка – намек на голос, тихий шепот звучит в его сознании. Абдул Карим не знает, проделки ли это его разума или нет, потому что не может разобрать слов. Он вздыхает и снова погружается в исследования.

Он читает о простых числах в природе. Узнает, что распределение расстояний между энергетическими уровнями возбужденного ядра урана вроде бы соответствует распределению расстояний между простыми числами. Он лихорадочно листает страницы статьи, изучает графики, пытается понять. Как странно, что Аллах оставил подсказку в недрах атомного ядра! Абдул Карим плохо знает современную физику – и совершает набег на библиотеку, чтобы познакомиться со строением атомов.

Его воображение несется вскачь. Размышляя о прочитанном, он начинает подозревать, что, возможно, материя бесконечно делима. Он одержим идеей, что не существует такого понятия, как элементарная частица. Кварк состоит из преонов. Возможно, сами преоны состоят из еще более мелких частиц. Нет предела тонкой структурированности материи.

Это намного приятней мысли о том, что где-то процесс останавливается, что существует некий допреон, который состоит только из самого себя. Насколько фрактально разумней, насколько красивей материя из бесконечных вложенных ячеек.

В этом есть симметрия, которая приятна Абдулу Кариму. В конце концов, бесконечность проявляется и в очень больших вещах. Нашей Вселенной, которая постоянно и, очевидно, безгранично расширяется.

Он обращается к работе Георга Кантора, которому хватило смелости формализовать математические исследования бесконечности. Абдул Карим старательно корпит над математикой, водя пальцем по каждой строке, каждому уравнению в пожелтевшем учебнике, лихорадочно делая карандашные пометки. Это Кантор обнаружил, что некоторые бесконечные множества более бесконечны, чем другие, – что в бесконечности существуют пласты и ярусы. Посмотрите на целые числа: 1, 2, 3, 4… Это бесконечность, но более низкого порядка, нежели бесконечность действительных чисел: 1,67, 2,93 и так далее. Можно сказать, что множество целых чисел обладает порядком алеф-ноль, в то время как множество действительных чисел – порядком алеф-один, подобно иерархическим рангам королевских придворных. Вопросом, который мучил Кантора и в конечном итоге стоил ему рассудка и жизни, была континуум-гипотеза, утверждающая, что не существует бесконечных множеств чисел с порядком между алеф-ноль и алеф-один. Иными словами, алеф-один следует сразу за алеф-ноль, и не существует промежуточного ранга. Но Кантор не смог это доказать. Он разработал математику бесконечных множеств. Бесконечность плюс бесконечность равно бесконечность. Бесконечность минус бесконечность равно бесконечность. Однако континуум-гипотеза осталась за пределами его досягаемости.

Абдулу Кариму Кантор кажется картографом в странном новом мире. Здесь скалы бесконечности нескончаемо тянутся к небу, а Кантор – крошечная фигурка, затерявшаяся в этом великолепии, словно муха на краю пропасти. Но какая отвага! Какой дух! Дерзнуть классифицировать бесконечность…

Исследования приводят Абдула Карима к статье математиков Древней Индии. Они использовали особые слова для больших чисел. Один пурви, единица времени, равнялся семистам пятидесяти шести тысячам миллиардов лет. Одна сирсапрагелика – восьми целым четырем десятым миллионов пурви, возведенных в двадцать восьмую степень. Для чего им понадобились столь большие числа? Какие они видели горизонты? Что за дивная самонадеянность овладела ими, чтобы они, слабые создания, мечтали в таких масштабах?

Однажды он говорит об этом своему другу, живущему поблизости индусу по имени Гангадхар. Руки Гангадхара замирают над шахматной доской (в разгаре традиционная еженедельная партия), и он цитирует Веды: «Из Бесконечного возьми Бесконечное, и – смотри! – останется Бесконечность…»

Абдул Карим поражен. Его предки на четыре тысячелетия опередили Георга Кантора!

Математика давалась ему легко, как дыхание. Он играючи справился с экзаменами в маленькой муниципальной школе. Это был провинциальный район, населенный в основном мелкими торговцами и незначительными госслужащими, и местные дети, похоже, унаследовали медлительную родительскую практичность. Никто не понимал странно умного мусульманского мальчика, за исключением его одноклассника-индуса Гангадхара, приветливого, общительного паренька. Хотя Гангадхар играл на улицах в гилли-данду и бегал быстрее всех, он любил литературу, особенно поэзию – увлечение столь же непрактичное, сколь чистая математика. Мальчики сдружились и провели много часов, сидя на стене позади школы, лакомясь плодами ямболана, украденными с окрестных деревьев, и беседуя на всевозможные темы, от поэзии урду и стихосложения на санскрите до преобладания математики над всеми другими вещами, включая человеческие эмоции. Они чувствовали себя очень взрослыми и зрелыми. Именно Гангадхар, смущенно хихикая, познакомил Абдула Карима с эротической поэзией Калидасы. В те времена девочки были для них загадкой: хотя дети учились вместе, девчонки (которые, разумеется, принадлежали к совсем иному виду, нежели их сестры) казались мальчикам странными, грациозными, чужеземными созданиями из другого мира. Своими лирическими описаниями грудей и бедер Калидаса пробудил в них смутные желания.