Если книга массой один килограмм, стоящая на полке в двух метрах над уровнем пола, падает на пол, ее гравитационная потенциальная энергия уменьшится на 1 × 9,8 × 2 = 19,6 джоуля, а кинетическая энергия в момент падения книги на пол будет 19,6 джоуля.
Я считаю, что гравитационная потенциальная энергия – отличное название. Подумайте об этом с такой точки зрения. Если я подниму книгу с пола и поставлю ее обратно на полку, мне для этого потребуется затратить 19,6 джоуля своей энергии. Теряется ли она бесследно? Нет! Теперь, когда книга опять в двух метрах над уровнем пола, она имеет «потенциал» возвращения этой энергии мне в виде кинетической энергии всякий раз, когда я опять уроню книгу на пол, будь то на следующий день или в следующем году! Чем выше над полом находится книга, тем больше энергии «потенциально» доступно, но, конечно, чтобы поставить книгу выше, мне придется выдать дополнительную энергию на ее подъем.
Подобным образом, чтобы пустить стрелу, мне потребуется натянуть тетиву лука. Эта энергия хранится в луке и «потенциально» доступна в тот момент, когда мы решаем преобразовать потенциальную энергию в кинетическую, которая придает стреле скорость.
А теперь с помощью простого уравнения я вам покажу кое-что совершенно замечательное. Если вы не против несложных математических упражнений, это позволит вам понять, как и почему работает самый известный (не)эксперимент Галилея. Напомним, что ученый якобы бросал шары разной массы (и, следовательно, разного веса) с Пизанской башни, чтобы показать, что скорость их падения не зависит от массы. Как следует из законов движения Ньютона, кинетическая энергия движущегося объекта пропорциональна массе объекта и квадрату его скорости, что в виде уравнения выглядит так: Eкин=½mv². А поскольку мы знаем, что гравитационная потенциальная энергия объекта преобразуется в кинетическую, то можем сказать, что mgh равно ½mv², следовательно, уравнение – mgh = mv². Если разделить обе стороны на m, то m исчезает из уравнения полностью и у нас остается gh = v². Чтобы избавиться от дроби, умножаем обе части уравнения на 2 и получаем 2gh = v². Это означает, что v, скорость, – именно то, что тестировал Галилей, – равняется квадратному корню из 2gh[20]. И обратите внимание, что масса из уравнения исчезла! Стало быть, скорость действительно не зависит от массы. Приведу практический пример. Если мы уроним камень (любой массы) с высоты 100 метров, то при отсутствии аэродинамического сопротивления он врежется в землю со скоростью около 45 метров в секунду, или около 160 километров в час.
Представьте себе камень (любой массы), падающий на Землю с высоты нескольких сотен тысяч километров. С какой скоростью он войдет в атмосферу Земли? К сожалению, мы не можем в данном случае использовать простое уравнение, приведенное выше, согласно которому скорость равна квадратному корню из 2gh, потому что ускорение земного притяжения сильно зависит от расстояния до Земли. На расстоянии, как до Луны (около 386 тысяч километров) это ускорение примерно в 3600 раз меньше, чем у поверхности Земли. Чтобы избежать излишне сложных расчетов, поверьте мне на слово: интересующая нас скорость составит более 40 тысяч километров в час!
Думаю, теперь вы наверняка поняли, насколько важна гравитационная потенциальная энергия в астрономии. Как мы будем обсуждать в главе 13, когда материя падает с большого расстояния на нейтронную звезду, она обрушивается на нее со скоростью примерно 160 тысяч километров в секунду, да-да, в секунду! Иными словами, при массе камня всего один килограмм его кинетическая энергия составляла бы около 13 тысяч триллионов (13 × 1015) джоулей, что примерно равно количеству энергии, вырабатываемой крупной (1000 МВт) электростанцией за полгода.
Способность разных видов энергии снова и снова преобразовываться друг в друга, безусловно, замечательна сама по себе, но еще более удивителен факт отсутствия чистых потерь энергии. Их не бывает вообще. Потрясающе! А ведь именно поэтому мой строительный таран до сих пор меня не угробил.
Подтягивая 15-килограммовый шар к подбородку по вертикали на расстояние h, я увеличиваю его гравитационную потенциальную энергию на mgh. После того как я отпускаю его, под действием силы тяжести он начинает раскачиваться через весь зал, и mgh преобразуется в кинетическую энергию. В данном случае h – это расстояние по вертикали между моим подбородком и самым низким положением груза на конце веревки. Когда шар достигает низшей точки колебания, его кинетическая энергия составляет mgh. По мере того как он завершает дугу и достигает верхнего предела колебания, кинетическая энергия снова преобразуется в потенциальную – поэтому в самой высокой точке колебания шар на мгновение останавливается. Нет кинетической энергии – нет движения. Но это длится всего долю секунды, потому что шар начинает опять двигаться вниз, совершая очередное колебание, и потенциальная энергия снова преобразуется в кинетическую. Сумма кинетической и потенциальной энергии называется механической энергией, и при отсутствии трения (в нашем случае сопротивления воздуха) суммарная механическая энергия не меняется – она сохраняется.
Это означает, что шар никогда не долетит до точки, хоть немного выше той, в которой его отпустили, если только в каком-то месте его пути ему не будет придана дополнительная энергия. Таким образом, аэродинамическое сопротивление – моя надежнейшая подушка безопасности. Им отбирается очень небольшое количество механической энергии маятника и преобразуется в тепло. В результате груз останавливается в считаных миллиметрах от моего подбородка, как вы можете увидеть на видео лекции № 11 из курса 8.01. Сьюзен смотрела эту демонстрацию трижды, и каждый раз вздрагивала. Меня постоянно спрашивают, много ли я тренировался, чтобы показывать такой опасный фокус, и я всегда отвечаю чистую правду: мне не нужны тренировки, потому что я на сто процентов доверяю закону сохранения энергии. Но если бы я хоть немного толкнул шар, отпуская его – скажем, случайно кашлянул именно в этот момент, – он качнулся бы назад до места чуть выше, чем то, в котором я его отпустил, и разбил бы мне подбородок.
Следует отметить, что сохранение энергии было открыто во многом благодаря сыну английского пивовара, жившему в XIX веке, Джеймсу Джоулю. Его работа была настолько важна для понимания природы энергии, что в его честь международная единица измерения энергии была названа джоулем. Отец послал Джеймса и его брата учиться к известному ученому-экспериментатору Джону Дальтону. Очевидно, Дальтон хорошо учил Джоуля. Позже, унаследовав пивоварню отца, Джоуль провел в ее подвале множество новаторских экспериментов, различными хитроумными способами изучая характеристики электричества, тепла и механической энергии. Помимо всего прочего, он, помещая катушки из разных видов металла с пропускаемым в них током в емкости с водой и измеряя, как при этом меняется ее температура, обнаружил, что электрический ток генерирует в проводнике тепло.
Джоуль первым понял, что тепло представляет собой форму энергии, что в корне изменило взгляды в этой области, господствовавшие на протяжении многих лет. До этого считалось, что тепло – это своего рода жидкость, невесомый флюид, называемый теплородом, что оно вытекает из областей высокой концентрации в области низкой концентрации и не может быть ни создано, ни уничтожено. Но Джоуль обратил внимание на то, что тепло может производиться многими способами, а это предполагает, что оно имеет иную природу. Например, изучая водопады, он определил, что на дне вода теплее, чем в верхней части, и пришел к выводу, что разница гравитационной потенциальной энергии между верхней и нижней частями водопада преобразуется в тепло. Он также заметил, что когда гребное колесо бьет по воде – очень известный эксперимент ученого, – ее температура повышается, и в 1881 году получил на удивление точные показатели преобразования кинетической энергии гребного колеса в тепло.
