Наконец, рассмотрим одну из самых популярных математических структур нашего времени — вещественные числа (наподобие 3,141 592…, где последовательность десятичных цифр тянется до бесконечности). Они образуют континуум, и для задания даже одного произвольного такого числа потребуется список из бесконечного числа цифр, то есть бесконечное количество информации. Это означает, что обычные компьютерные программы не способны обрабатывать такие числа: проблема касается не только выполнения бесконечного числа вычислительных шагов, как в примере с функцией H, но также ввода и вывода бесконечного количества информации.

С другой стороны, работа Гёделя может вызвать беспокойство: не лишена ли смысла ГМВ в применении к бесконечным структурам? Наша Вселенная тогда оказалась бы в некотором смысле противоречивой или неопределённой. Если принять тезис математика Давида Гильберта о том, что «математическое существование сводится, по сути, к отсутствию противоречий», то внутренне противоречивая структура не существует математически, не говоря уже о физическом существовании, как в ГМВ. Стандартная модель физики включает такие повседневно применяемые математические структуры, как целые и вещественные числа. Тем не менее работа Гёделя оставляет открытыми вопросы, не является ли повседневная математика внутренне противоречивой и не существует ли в рамках теории чисел доказательства конечной длины, демонстрирующего, что 0 = 1. На основе такого шокирующего результата можно было бы доказать, что любое синтаксически корректное утверждение о целых числах является истинным, и математика в том виде, как мы её знаем, обрушилась бы, подобно карточному домику.

Подобные сомнения относительно неразрешимости и внутренней противоречивости применимы лишь к математическим структурам, содержащим бесконечно много элементов. Присущи ли бесконечности, неразрешимости и потенциальные внутренние противоречия непосредственно фундаментальной физической реальности? Или это, по сути, миражи, артефакты, возникающие в результате нашей игры с огнём и применения мощных математических инструментов, которые скорее более удобны в использовании, нежели подходят для фактического описания нашей Вселенной? То есть — насколько корректно определёнными должны быть математические структуры, чтобы быть реальными, выступать членами мультиверса IV уровня?

Есть целый спектр интересных возможностей для квалификации структур:

Гипотеза вычислимой Вселенной

Интересные возможности предоставляет нам гипотеза вычислимой Вселенной (ГВВ). Она состоит в том, чтобы провести границу по варианту № 3 и дисквалифицировать структуры более общего вида:

Я имею в виду следующее: все отношения (функции), которые определяют математическую структуру, могут быть реализованы как вычисления, которые гарантированно останавливаются после конечного числа шагов. Если ГВВ неверна, то ещё более консервативной гипотезой является гипотеза финитной Вселенной (ГФВ). Она проводит границу по варианту № 2: наша внешняя реальность является финитной математической структурой.

Мне кажется интересным, что очень близкие вопросы дебатировались среди математиков без ссылок на физику. Согласно финитистской школе математиков, к которой принадлежали Леопольд Кронекер, Герман Вейль и Рубен Гудстейн, математический объект не существует, если его нельзя построить из целых чисел за конечное число шагов. Это ведёт прямо к варианту № 3.

Согласно ГВВ, математическая структура, которая является нашей физической реальностью, обладает привлекательным свойством вычислимости, а значит, является корректно определённой в строгом смысле (то есть все её отношения могут быть вычислены). Таким образом, у нашей Вселенной не может быть никаких невычислимых (неразрешимых) физических особенностей, а значит, можно не беспокоиться, что работы Чёрча, Тьюринга и Гёделя каким-то образом сделают наш мир неполным или внутренне противоречивым. Я не знаю точно, каковы свойства нашей физической реальности, но уверен, что эти свойства существуют в том смысле, что они корректно определены: природа наверняка знает, что делает.

Многих авторов озадачивало, почему наши физические законы выглядят относительно просто. Например, почему Стандартная модель физики элементарных частиц обладает такими простыми симметриями, которые мы обозначаем как SU(3) × SU(2) × U(1), и требует всего 32 параметра (гл. 10), тогда как большинство альтернатив значительно сложнее её? Очень соблазнительно думать о том, что свой вклад в эту простоту внесла ГВВ, которая строго ограничивает сложность природы. Может быть, изгнав континуум, ГВВ также поможет уменьшить размер инфляционного ландшафта и разрешить космологическую проблему меры? Она в значительной мере связана с возможностью истинного континуума вечно испытывать экспоненциальное расширение, порождая бесконечное число наблюдателей.

Это были хорошие новости. Однако, хотя ГВВ имеет привлекательные черты, гарантирующие строгую определённость нашей Вселенной и, возможно, снижающие остроту космологической проблемы меры за счёт ограничения того, что считается существующим, она также приводит к серьёзным вызовам.

Прежде всего меня беспокоит, что ГВВ кажется сдачей важных философских высот, так как, по сути, она признаёт: хотя где-то существуют все математические структуры, некоторые из них обладают привилегированным статусом. Но если ГВВ верна, то все остальные математические ландшафты являются, по большому счёту, иллюзиями, фундаментально неопределёнными и в любом смысле несуществующими.

Более насущной является та проблема, что наша нынешняя Стандартная модель (как и все исторически успешные теории) нарушает ГВВ, и совершенно неочевидно, что существует жизнеспособная вычислимая альтернатива. Главная причина нарушения ГВВ состоит в использовании континуума, обычно в форме вещественных и комплексных чисел. Они не могут служить даже исходными данными для финитных вычислений, поскольку в общем случае требуют для своего задания бесконечно много битов. Даже те подходы, в рамках которых предпринимается попытка избавиться от классического континуума пространства-времени путём дискретизации или квантования, обычно применяют непрерывные переменные для других элементов теории, таких как напряжённость электромагнитного поля или амплитуда квантовой волновой функции.

Один из интересных подходов к проблеме континуума состоит в замене вещественных чисел математической структурой, которая имитирует континуум, сохраняя вычислимость, — например алгебраическими числами. Другой подход (он кажется мне перспективнее) состоит в том, чтобы перестать рассматривать континуум в качестве фундаментальной структуры и попробовать относиться к нему как к аппроксимации. Я уже отмечал, что физики никогда ничего не измеряли с точностью более 16 значащих цифр, и нет эксперимента, исход которого зависел бы от гипотезы существования истинного континуума или от способности природы вычислять нечто невычислимое. Поразительно, но многие основанные на континууме модели классической математической физики (например уравнения, описывающие волны, диффузию или течение жидкости) являются не более чем аппроксимацией лежащего в основе поведения совокупностей дискретных атомов. Исследования в области квантовой гравитации указывают на то, что даже классическое пространство-время на очень малых масштабах распадается. Таким образом, нет уверенности, что величины, с которыми мы обращаемся как с непрерывными (вроде пространства-времени, напряжённости поля, амплитуды квантовой волновой функции), не являются лишь аппроксимациями чего-то дискретного. На самом деле некоторые дискретные вычислимые структуры (и даже финитные, удовлетворяющие ГФВ) могут аппроксимировать континуальную физическую модель настолько хорошо, что физики применяют их, когда нужно выполнить практические вычисления, оставляя открытым вопрос о том, что ближе к математической структуре Вселенной — первое или второе. Некоторые исследователи, например Конрад Цузе, Джон Барроу, Юрген Шмидхубер и Стивен Вольфрам, зашли по этому пути настолько далеко, что предполагают и вычислимость, и финитность законов природы, подобно клеточным автоматам или компьютерным моделям. Отмечу, однако, что эти предположения отличаются от ГВВ и ГФВ тем, что требуют вычислимости эволюции во времени, а не просто описания (отношений) структуры.