Физики часто моделируют в трехмерии некоторые явления вроде урагана, вспышки сверхновой или образования планетной системы. Для этого мы делим трёхмерное пространство на трёхмерные пикселы (вокселы). Мы также делим четырёхмерное пространство-время на четырёхмерные вокселы. Каждый четырёхмерный воксел представляет, что происходит в соответствующем месте и времени с помощью группы чисел, кодирующих всё, что имеет отношение к делу, скажем, температуру, давление, плотности и скорости различных веществ в вокселе. Например, при моделировании Солнечной системы воксел, соответствующий центру Солнца, будет содержать чрезвычайно большое число, выражающее температуру, а воксел за пределами Солнца, содержащий почти пустое пространство, будет иметь близкое к нулю число, выражающее давление. Числа в соседних вокселах удовлетворяют некоторым соотношениям, которые описываются математическими уравнениями, а когда компьютер выполняет моделирование, он, подобно игроку в судоку, пользуется этими соотношениями, чтобы определять отсутствующие числа. Если компьютер готовит прогноз погоды, то пространственно-временные вокселы, соответствующие настоящему моменту, заполняются измеренными значениями давления воздуха, температуры воздуха и т. д. Компьютер затем применяет соответствующие уравнения для вычисления значений, которые записываются в пространственно-временные вокселы, соответствующие завтрашнему дню и остальным дням недели.
Рис. 11.3. Компьютеры обычно представляют полутоновые изображения, храня число для каждой точки (пиксела) фотографии (самая правая картинка). Чем больше число, тем выше интенсивность света от данного пиксела: 0 представляет чёрный цвет (нет никакого света), а 255 — белый цвет. Подобным же образом так называемые поля в классической физике представляются в каждой точке пространства-времени числом, которое, грубо говоря, задаёт количество «материи», присутствующей в каждой точке.
Подобные симуляции, математически отображающие некоторые аспекты внешней физической реальности, делают это приближённо. Пространство-время, конечно, не состоит из грубых вокселов, которые применяются для моделирования погоды, и это одна из причин, по которой метеорологические прогнозы часто неточны. И всё же мысль, что с каждой точкой пространства-времени связана группа чисел, весьма глубока, и, я думаю, она кое-что говорит нам не только о нашем описании реальности, но и о самой реальности. Одно из фундаментальных понятий современной физики, поле, устроено именно так: это нечто, представимое числами в каждой точке пространства-времени. Например, существует поле температур, соответствующее воздуху вокруг нас: в каждой точке имеется строго определённая температура, не зависящая от любых изобретённых человеком вокселов, и её значение можно измерить с помощью термометра (или пальца, если не требуется высокой точности). Существует также поле давления: в каждой точке есть число, выражающее давление — его можно измерить барометром или своими ушами, которые начинают болеть, если это число сильно отклоняется от нормы, а также воспринимают звук, если давление колеблется во времени.
Сейчас известно, что ни то, ни другое поле не является истинно фундаментальным: они, по сути, показывают, как быстро в среднем движутся молекулы воздуха, и их числа перестают быть чётко определёнными, если попытаться измерить их в субатомных масштабах. Однако существуют другие поля, которые кажутся фундаментальными, образующими часть ткани нашей внешней физической реальности. Магнитное поле определяется не одним (как температура), а тремя числами в каждой точке пространства-времени, задающими его величину и направление. Вы, вероятно, измеряли магнитное поле с помощью компаса, наблюдая, как его стрелка устанавливается вдоль магнитного поля Земли, направленного к северу. Стрелка выравнивается быстрее, если магнитное поле сильнее — например вблизи магнитно-резонансного томографа. Другой пример — электрическое поле, которое также представляется тремя числами, задающими его величину и направление. Простой способ измерить его — по силе, с которой оно действует на заряженный объект, например, когда ваши волосы электрически притягиваются к пластмассовой расчёске. Электрическое и магнитное поля можно элегантно объединить в электромагнитное поле (представляется шестью числами в каждой точке пространства-времени). Свет — это волны, бегущие по электромагнитному полю (гл. 7), и если наш физический мир — это математическая структура, то весь свет во Вселенной (который кажется нам физическим) связан с шестью числами в каждой точке пространства-времени (чисто математической сущностью). Эти числа подчиняются математическим соотношениям — уравнениям Максвелла (рис. 10.4).
Следует сделать оговорку: то, что я сейчас описал, соответствует пониманию электричества, магнетизма и света в классической физике. Квантовая механика усложняет картину (но не делает её менее математической), заменяя классический электромагнетизм квантовой теорией поля — основанием всей современной физики элементарных частиц. В квантовой теории поля волновая функция задаёт степень, в которой является реальной любая возможная конфигурация электрического и магнитного полей. Волновая функция сама по себе математический объект, абстрактная точка в гильбертовом пространстве.
Квантовая теория поля утверждает (гл. 7), что свет состоит из частиц, называемых фотонами. Грубо говоря, числа, составляющие электрическое и магнитное поля, могут рассматриваться как информирующие о числе фотонов в каждый момент в каждом месте. Так же, как есть электромагнитное поле, напряжённость которого соответствует числу фотонов в каждый момент в каждом месте, существуют и другие поля, соответствующие прочим известным элементарным частицам. Например, напряжённость электронного поля и напряжённость кваркового поля связаны с числом электронов и кварков в каждый момент времени в каждом месте. В классической физике все движения всех частиц в пространстве-времени соответствуют набору чисел в каждой точке четырёхмерного математического пространства — математической структуре. В квантовой теории поля волновая функция задаёт степень, в которой является реальной любая возможная конфигурация каждого из этих полей.
Физики ещё не нашли математическую структуру, которая описывала бы все аспекты реальности, включая гравитацию (гл. 7). Но пока нет признаков того, чтобы теория струн или другой кандидат на роль такого описания был бы менее математическим, чем квантовая теория поля.
Описание или эквивалентность?
Прежде чем идти дальше, необходимо разобраться с важным семантическим моментом. Большинство моих коллег-физиков скажет, что внешняя физическая реальность (по крайней мере приближённо) описывается математикой. Я же утверждаю, что внешняя физическая реальность является математикой, точнее, математической структурой.
Всё, о чём до сих пор шла речь в этой главе, предполагает, что нашу внешнюю физическую реальность можно описать математической структурой. Если в учебнике физики появится долгожданная «теория всего» (ТВ), её уравнения будут полностью описывать математическую структуру, которая является внешней физической реальностью. Я использую здесь слово «является», а не «соответствует», поскольку, если две структуры эквивалентны, то (как подчёркивал израильский профессор Мариус Коэн)[74] не существует осмысленного контекста, в котором они не являются одним и тем же. Вспомните мощное математическое понятие эквивалентности из гл. 10, которое охватывает самую суть математических структур: если два полных описания эквивалентны, то они описывают одну и ту же вещь.[75] Это означает, что если некие математические уравнения описывают и нашу внешнюю физическую реальность, и математическую структуру, то наша внешняя физическая реальность и эта математическая структура есть одно и то же. И тогда верна гипотеза математической Вселенной: наша физическая реальность является математической структурой.
