Тут пора оговориться: кое-что новое о вещах, что не содержится в их общем качественном определении, мы, таким образом, все же узнаем. Это новое есть связь, выражаемая способом (законом), по которому производится данное количественное сравнение, устанавливается взаимоотношение между предметами, дающее возможность отнести младенца к его матери, стул в театре к гражданину, приобретшему право занять его, данную книгу к роду трактуемого ею предмета. И чем эта связь «теснее», тем ценнее для нас количественное определение, ибо оно в таком случае дает возможность, зная один из соотносящихся предметов, устанавливать свойства другого. Так, зная особенности данной матери, мы можем предвидеть некоторые свойства относящегося к ней младенца.

Это внешнее, безразличное к существу определяемых им вещей количественное определение дает, однако, возможность отображать связи и взаимоотношения между вещами, и, таким образом, пользуясь качественным познанием одних вещей, делать выводы относительно свойств других.

Более того, один вид зависимости, устанавливаемый при помощи такого количественного определения, отличается при этом от других, один закон от другого, и притом уже не количественно, а качественно — как закономерности именно того, а не другого рода. Не случайно поэтому такие философы-математики, как Кутюра, например, считают предметом математики (логики, что тождественно, с их точки зрения) не количество, а качество — качественно друг от друга отличающиеся формы функциональных зависимостей, выражающих законы количественного сравнения, соотношения предметов. Всякое, следовательно, даже совершенно внешнее, безразличное к существу предмета количественное определение предполагает некоторый качественный момент, находящий себе выражение в том способе — «законе», по которому оно производится. Уже самые первые шаги в изучении количества, таким образом, обнаруживают перед нами, что в действительности количество и качество изолированно друг от друга не существуют, что всякое, даже чисто внешнее количественное определение содержит в себе некоторый качественный момент. А если при помощи этого определения находит себе выражение не чисто внешняя, случайная, произвольно нами устанавливаемая связь, а существенная для данных классов предметов зависимость, количественное определение становится очень мощным средством научного исследования. Но тут оно теряет уже свой характер внешности, безразличия к существу определяемых им предметов и, следовательно, перестает быть голым количественным определением. Из формального оно превращается в содержательное, из внешнего в существенное, из количества в меру — единство качественного и количественного определения.

Это последнее, в свою очередь, имеет место только там, где связи между предметами не рассматриваются изолированно от этих предметов, где они являются существенными именно для данных конкретных предметов, а не предметов вообще, тождественных между собой, абстрактных, неопределенных бескачественных иксов и игреков. Ибо по существу можно отображать лишь то, что этим существом действительно обладает. Однако ближе об этом впереди…

Следуя за Гегелем, мы уже обнаружили в развитии числа два момента:

1. Число, как определенное число — численность (Anzahl), возникающее в процессе счета.

2. Число, как единство во множестве, как выражение количественной определенности.

В дальнейшем Гегель анализирует еще далее последнее понятие числа, подчеркивает в нем два момента, соответствующие развитию этого понятия:

а) Будучи единством во множестве, число может служить для отображения той или другой совокупности вещей, количественного отличения одной совокупности от другой, установления между различными совокупностями тождества (эквивалентности) и различия. Так, число «два» характеризует все возможные пары предметов — совокупность, состоящую из двух элементов, число «три» — тройки, «четыре» — четверки и т. д.

Современные математики называют такое, всегда относящееся к некоторой совокупности число — количественным (кардинальным) и отличают от возникающего при счете порядкового (ординального) числа. Между ними при этом идет спор о приоритете одного из этих чисел над другим. Гельмгольц, например, опираясь на человеческий опыт, считает ординальное число первичным и старается свести к нему количественное число. Кантор, Фреге, Рессель, Фосс и другие «исходят из понятия кардинального (количественного) числа как абстракции, не зависящей от особой природы множества объект о в» и пытаются чисто логически вывести из него, как вторичное, понятие ординального числа. Каждый, таким образом, фактически старается доказать, что математике не нужно пользоваться определением числа в его развитии, — необходимо выбрать какое-нибудь одно из определений, свести к нему все остальные и на нем строить в дальнейшем всю математику.

б) Но Гегель не останавливается, однако, и на этом количественном числе, относящемся всегда к некоторой совокупности, некоторому множеству объектов. Он переходит в дальнейшем к числу, характеризующему один предмет, и притом при помощи некоторого качества, его интенсивности-степени. Так, мы различаем одно освещение, звук, температуру, давление и т. д. по степени их интенсивности от других, более или менее «сильных», более или менее интенсивных. Число, характеризующее температуру воздуха в комнате, не относится уже ник какому множеству объектов — оно характеризует степень нагретости комнаты в отличие от других возможных степеней. Оно относится к некоторому изменяющемуся качеству и характеризует его в его изменении. С введением этого понятия о числе мы вступаем уже в несколько иную область.

Приведем, в самом деле, простой пример. По степени нагретости можно различать более или менее теплую воду, можно даже характеризовать эту степень нагретости воды (температуру) числом. С изменением температуры вода не перестает быть водой — она только отличается от другой воды, обладающей иной степенью нагретости. Различие, таким образом установленное, — количественного порядка. И, однако, только в известных пределах, ибо может быть достигнута такая степень нагретости (температура), при малейшем дальнейшем изменении которой вода перестанет быть тем, что она есть, — превратится в пар или в лед. Новое понятие числа, таким образом, оказывается уже Не столь внешним, безразличным к предмету, который оно характеризует: с его изменением предмет не перестает быть тем, что он есть, только в известных пределах.

Количественную определенность — число, относящееся к множеству, совокупности объектов (или частей какого-нибудь одного объекта), Гегель называет экстенсивным, относящееся к степени какого-нибудь качества, характеризующей предмет, — интенсивным.

В первом, говорит Гегель, численность (Anzahl) находится внутри, ибо оно представляет собой единство в некотором множестве, во втором — вовне, ибо только через отношение к другим, ему подобным, предметам предмет приобретает при этом свою количественную определенность. Группа из трех предметов представляет собой некоторый один предмет — некоторую тройку. «Три» есть численность такой группы, так сказать внутри ее находящаяся. Наоборот, какая численность содержится в 37-градусной температуре человеческого тела? Лишь через отношение к некоторой единице температуры некоторая температура становится количеством (числом), причем, конечно, нелепо будет представлять ее себе сложенной, составленной из 37 отдельных градусов, хотя бы даже только в возможности. Численность 37 тут не характерна для нее самой по себе, а находится, так сказать, вне ее, в отношении к другим, ей подобным, температурам. И в этом Гегель видит глубокую противоречивость интенсивного количества — «быть определенным так просто в себе», но «иметь свою определенность лишь в другом»…

Число, как мы видим, представляет собой, по Гегелю, некоторое единство, единица и численность служат его моментами. Если мы делаем ударение на моменте множественности в числе, мы получаем возможность отображать при его посредстве экстенсивные величины, если делаем ударение на единстве, на том, что всякое число есть некоторое одно (сотня, пятерка), отличающееся от другого одно, мы получаем возможность отображения. при его посредстве интенсивной величины. Но уже эта возможность отображения при посредстве того же самого числа, как экстенсивной, так и интенсивной величины, наводит нас на мысль о реальном единстве этих определений величины. И действительно, установив различие между экстенсивной и интенсивной величиной, Гегель переходит в дальнейшем к установлению тождества, правильнее сказать, единства между ними. «Каждое существование, — говорит он, — представляет собой как экстенсивное, так и интенсивное определенное количество» («Н. Л.», 142). «Экстенсивная и интенсивная величины суть одна и та же определенность определенного количества; они различаются лишь в том, что одна имеет определенное число (Anzahl) внутри себя, другая его же, определенное же число, вне себя» («Н. Л.», 140).