Для тех, кто вслед за Шоу жалуется, что за все время обучения «не было сказано ни слова о смысле или практическом применении математики», этот юмористический рассказ об «истории» математики страхования будет очень полезен.
До сих пор, если не считать статьи Шоу, мы изучали развитие разных отраслей математики более или менее с точки зрения практикующих математиков. Для них, как и для многих философов-рационалистов вроде Спинозы, платонизм был очевиден. Не было никаких сомнений, что математические истины существуют в своем собственном мире и что человеческий разум способен получить доступ к этим сущностям безо всяких наблюдений – исключительно путем логических рассуждений. Первые признаки потенциальных расхождений между восприятием евклидовой геометрии как собрания вселенских истин и другими областями математики обнаружил ирландский философ Джордж Беркли, епископ Клойнский (1685–1753). В памфлете под названием «Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику» («The Analyst; Or a Discourse Addressed to An Infidel Mathematician») – этим математиком, как полагают, был Эдмонд Галлей – Беркли критикует самые основы интегрального и дифференциального исчисления в том виде, в каком их предлагают Ньютон в «Началах» и Лейбниц[98]. В частности, Беркли показал, что «флюксии» – производные в ньютоновском понимании, то есть мгновенные скорости изменений, определены совсем не строго, а это, с точки зрения Беркли, было основанием усомниться во всей научной дисциплине.
Метод флюксий является тем общим ключом, с помощью которого новейшие математики открывают секреты геометрии и, следовательно, природы. И поскольку именно он позволил им столь замечательно превзойти древних в открытии теорем и решении задач, его развитие и применение стало главным, если не единственным занятием всех тех, кто в наше время считается глубоким, основательным геометром. Но является ли этот метод ясным или же туманным, последовательным или противоречивым, убедительным или необоснованным? Я исследую это с величайшей беспристрастностью и представляю мое исследование на ваш суд и на суд каждого непредубежденного читателя. (Пер. Е. Лагутина.)
Несомненно, Беркли верно выявил суть проблемы – и в самом деле, непротиворечивая теория математического анализа сформировалась лишь к концу 1960 годов. Однако в XIX веке математике предстояло пережить еще более значительный кризис.
Глава 6
Геометры: шок будущего
В своей знаменитой книге «Шок будущего» (Toffler 1970) Элвин Тоффлер определяет заглавный термин как «разрушительный стресс и дезориентацию, которые вызывают у индивидов слишком большие перемены, происходящие за слишком короткое время» (пер. Е. Рудневой). Именно такой шок ожидал математиков, физиков и философов в XIX веке. В сущности, вера в то, что математика предлагает вечные незыблемые истины, вера, державшаяся тысячелетиями, рассыпалась в прах. Этот внезапный интеллектуальный переворот был вызван появлением новых типов геометрий – так называемых неевклидовых геометрий. Хотя большинство неспециалистов о них, наверное, и не слышали, масштаб этой революции в мышлении, которую вызвало появление этих новых отраслей математики, сравнивают с теорией эволюции Дарвина.
Чтобы вполне оценить природу этого колоссального мировоззренческого переворота, придется сделать краткий экскурс в историю математики.
Евклидова «Истина»
До начала ХIX века, если какую-то отрасль знаний и считали апофеозом истинности и несомненности, это была евклидова геометрия, та самая традиционная геометрия, которой учат в школе. Поэтому не приходится удивляться, что великий голландско-еврейский философ Барух Спиноза (1632–1677) назвал свой труд, где предпринял смелую попытку объединить науку, религию, этику и логику «Этика, доказанная в геометрическом порядке». Более того, несмотря на четкие различия между идеальным платоновским миром математических форм и физической реальностью, большинство ученых считали объекты евклидовой геометрии просто дистиллированными абстрактными соответствиями реальных физических предметов. Даже убежденные эмпирики вроде Дэвида Юма (1711–1776), который настаивал, что самые основы науки гораздо более сомнительны, чем можно заподозрить, были убеждены, что евклидова геометрия надежна, как Гибралтарская скала. В «Трактате о человеческом разумении» («An Enquiry Concerning Human Understanding») Юм определяет «истины» двух типов (Hume 1748).
Все объекты, доступные человеческому разуму или исследованию, по природе своей могут быть разделены на два вида, а именно: на отношения между идеями и факты. К первому виду относятся… вообще всякое суждение, достоверность которого или интуитивна, или демонстративна. …К такого рода суждениям можно прийти благодаря одной только мыслительной деятельности, независимо от того, что существует где бы то ни было во Вселенной. Пусть в природе никогда бы не существовало ни одного круга или треугольника, и все-таки истины, доказанные Евклидом, навсегда сохранили бы свою достоверность и очевидность.
Факты, составляющие второй вид объектов человеческого разума, удостоверяются иным способом, и, как бы велика ни была для нас очевидность их истины, она иного рода, чем предыдущая. Противоположность всякого факта всегда возможна, потому что она никогда не может заключать в себе противоречия… Суждение «Солнце завтра не взойдет» столь же ясно и столь же мало заключает в себе противоречие, как и утверждение, что оно взойдет, поэтому мы напрасно старались бы обосновать его ложность демонстративным путем (пер. С. Церетели).
Иначе говоря, хотя Юм, как и все эмпирики, полагал, что любое знание коренится в наблюдении, геометрия и ее «истины» по-прежнему занимали в его представлении привилегированное положение.
Величайший немецкий философ Иммануил Кант (1724–1804) не во всем был согласен с Юмом, однако тоже превозносил евклидову геометрию, приписывая ей и абсолютную точность, и бесспорную достоверность. В своем знаменитом труде «Критика чистого разума» Кант сделал попытку в некотором смысле обратить отношения между сознанием и физическим миром. Кант отошел от представления о том, что физическая реальность накладывает отпечаток на сознание, остающееся, в сущности, пассивным, Кант наделил сознание активной функцией «конструирования» или «переработки» воспринимаемой Вселенной. Он направил внимание вовнутрь и задался вопросом не о том, что мы можем познать, но о том, как именно мы можем познать то, что можем познать[99]. Он объяснил, что хотя наши глаза регистрируют частички света, эти частички не формируют образ в нашем сознании, пока мозг не переработает и не упорядочит информацию. Ключевая роль в этом процессе переработки приписывалась интуитивному или синтетическому априорному представлению о пространстве, которое, в свою очередь, как полагал Кант, основано на евклидовой геометрии. Кант был убежден, что евклидова геометрия – это единственный путь к переработке и концептуализации пространства, и это интуитивное универсальное знание о пространстве и лежит в основе нашего восприятия мира природы. Вот как об этом пишет сам Кант (Kant 1781).
Пространство не есть эмпирическое понятие, выводимое из внешнего опыта… Пространство есть необходимое априорное представление, лежащее в основе всех внешних созерцаний… На этой априорной необходимости основывается аподиктическая достоверность всех геометрических основоположений и возможность их априорных построений. Если бы это представление о пространстве было a posteriori приобретенным понятием, почерпнутым из общего внешнего опыта, то первые основоположения математического определения были бы только восприятием. Следовательно, на них была бы печать случайности, свойственной восприятию, и суждение, что между двумя точками возможна лишь одна прямая линия, не было бы необходимым; всякий раз этому учил бы нас опыт (пер. Н. Лосского).
